微分積分例

$\int \frac{x}{{(7 x^{2} + 3)}^{5}} d x d x$

ステップ 1

$u = 7 x^{2} + 3$ とします。次に $d u = 14 x d x$ すると、 $\frac{1}{14} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 7 x^{2} + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$7 x^{2} + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $7 x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $7$ をかけます。

$14 x + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$14 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$14 x$ と $0$ をたし算します。

$14 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{14} d u d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u^{5}}$ に $\frac{1}{14}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 14} d u d x$

ステップ 2.2

$14$ を $u^{5}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{14 u^{5}} d u d x$

ステップ 3

$\frac{1}{14}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{14}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u d x$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

簡約します。

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ステップ 4.1.1

$d$ と $\frac{1}{14}$ をまとめます。

$\frac{d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u x$

ステップ 4.1.2

$x$ と $\frac{d}{14}$ をまとめます。

$\frac{x d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

ステップ 4.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.2.1

$u^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{x d}{14} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2.2

${(u^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x d}{14} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x d}{14} \int u^{- 5} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 5}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ です。

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

$u^{- 4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{x d}{14} (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

ステップ 6.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

ステップ 6.2

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$ を $\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{14}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{14} d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

ステップ 6.3.2

$\frac{x}{14}$ と $d$ をまとめます。

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

ステップ 6.3.3

$\frac{x d}{14}$ に $\frac{1}{4 u^{4}}$ をかけます。

$- \frac{x d}{14 (4 u^{4})} + C$

ステップ 6.3.4

$4$ に $14$ をかけます。

$- \frac{x d}{56 u^{4}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $7 x^{2} + 3$ で置き換えます。

$- \frac{x d}{56 {(7 x^{2} + 3)}^{4}} + C$

微分積分 例

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