微分積分例

$\int 4 \sin^{2} (x) d x$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \sin^{2} (x) d x$

ステップ 2

半角公式を利用して $\sin^{2} (x)$ を $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$4 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

ステップ 4.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 x) d x$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 x) d x$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 x) d x$

ステップ 4.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \int 1 - \cos (2 x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$2 (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 8

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 8.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 9

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

ステップ 11

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$2 (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 12

簡約します。

$2 (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\sin (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$2 x + 2 (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 14.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.1

$- \frac{\sin (2 x)}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x + 2 \frac{- \sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 14.3.2

共通因数を約分します。

$2 x + 2 \frac{- \sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 14.3.3

式を書き換えます。

$2 x - \sin (2 x) + C$

微分積分 例

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