微分積分例

$y = \sqrt[3]{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

ステップ 1.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

ステップ 1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.8.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ を ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

ステップ 2.2.2

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 2.3

$n = - \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

ステップ 2.7.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

ステップ 2.9

$x^{- \frac{5}{3}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

ステップ 2.10

$\frac{1}{3}$ に $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

ステップ 2.11.2

$2$ を $x^{- \frac{5}{3}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

ステップ 2.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \frac{2}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ の微分係数は $- \frac{2}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ です。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 3.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ を ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$

ステップ 3.2.2

${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{5}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$\frac{5}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}$

ステップ 3.2.2.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 5}{3}}$

ステップ 3.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{5}{3}}$

ステップ 3.3

$n = - \frac{5}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

ステップ 3.7.2

$- 5$ から $3$ を引きます。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

ステップ 3.9

$x^{- \frac{8}{3}}$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

ステップ 3.10

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = 1 (\frac{2}{9}) \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

ステップ 3.10.2

$\frac{2}{9}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{2}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

ステップ 3.11

$\frac{2}{9}$ に $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{2 (x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5)}{9 \cdot 3}$

ステップ 3.12

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

$5$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{9 \cdot 3}$

ステップ 3.12.2

$9$ に $3$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{27}$

ステップ 3.12.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{8}{3}}$ を分母に移動させます。

$f''' (x) = \frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{10}{27}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$ の微分係数は $\frac{10}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}})$

ステップ 4.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}$ を ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1})$

ステップ 4.2.2

${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8}{3} \cdot - 1})$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{8}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$\frac{8}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8 \cdot - 1}{3}})$

ステップ 4.2.2.2.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 8}{3}})$

ステップ 4.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{8}{3}})$

ステップ 4.3

$n = - \frac{8}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1})$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 3}{3}})$

ステップ 4.7.2

$- 8$ から $3$ を引きます。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 11}{3}})$

ステップ 4.8

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{11}{3}})$

ステップ 4.9

$x^{- \frac{11}{3}}$ と $\frac{8}{3}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3})$

ステップ 4.10

$\frac{10}{27}$ に $\frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3}$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{10 (x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8)}{27 \cdot 3}$

ステップ 4.11

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1

$8$ に $10$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{27 \cdot 3}$

ステップ 4.11.2

$27$ に $3$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{81}$

ステップ 4.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{11}{3}}$ を分母に移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{80}{81 x^{\frac{11}{3}}}$

微分積分 例

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