微分積分例

$\int \ln (1 + x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (1 + x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (1 + x) x - \int x \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2

$x$ と $\frac{1}{x + 1}$ をまとめます。

$\ln (1 + x) x - \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 3

$x$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 3.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 3.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 3.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

ステップ 3.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

ステップ 3.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

ステップ 3.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\ln (1 + x) x - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (1 + x) x - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$\ln (1 + x) x - (x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 7

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 7.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (1 + x) x - (x + C - (\ln (| u |) + C))$

ステップ 9

簡約します。

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| u |) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例