微分積分例

$\int \sin (3 y) + \cos (5 y) d y$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sin (3 y) d y + \int \cos (5 y) d y$

ステップ 2

$u_{1} = 3 y$ とします。次に $d u_{1} = 3 d y$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = 3 y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$3 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [3 y]$

ステップ 2.1.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$3 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

ステップ 3

$\sin (u_{1})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

ステップ 5

$\sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $- \cos (u_{1})$ です。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (5 y) d y$

ステップ 6

$u_{2} = 5 y$ とします。次に $d u_{2} = 5 d y$ すると、 $\frac{1}{5} d u_{2} = d y$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = 5 y$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$5 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [5 y]$

ステップ 6.1.2

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $5 y$ の微分係数は $5 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$5 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

ステップ 7

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{5} d u_{2}$

ステップ 8

$\frac{1}{5}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 9

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\sin (u_{2}) + C)$

ステップ 10

簡約します。

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $3 y$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

ステップ 11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $5 y$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{3} \cos (3 y) + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$

微分積分 例

微分積分例