微分積分例

\int_{0}^{\frac{π}{4}} sec (x) d x

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) d x$

ステップ 1

sec (x)

$\sec (x)$ の

x

$x$ に関する積分は

ln (| sec (x) + tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ です。

ln (| sec (x) + tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

ステップ 2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ および

0

$0$ で

ln (| sec (x) + tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ の値を求めます。

ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) + tan (\frac{π}{4}) ∣ ∣) - ln (| sec (0) + tan (0) |)

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

sec (\frac{π}{4})

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は

\frac{2}{\sqrt{2}}

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

ln (∣ ∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + tan (\frac{π}{4}) ∣ ∣ ∣) - ln (| sec (0) + tan (0) |)

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 2.2.2

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は

1

$1$ です。

ln (∣ ∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣ ∣) - ln (| sec (0) + tan (0) |)

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 2.2.3

sec (0)

$\sec (0)$ の厳密値は

1

$1$ です。

ln (∣ ∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣ ∣) - ln (| 1 + tan (0) |)

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

ステップ 2.2.4

tan (0)

$\tan (0)$ の厳密値は

0

$0$ です。

ln (∣ ∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣ ∣) - ln (| 1 + 0 |)

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

ステップ 2.2.5

1

$1$ と

0

$0$ をたし算します。

ln (∣ ∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣ ∣) - ln (| 1 |)

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 2.2.6

対数の商の性質を使います、

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1.1

\frac{2}{\sqrt{2}}

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.2.1

\frac{2}{\sqrt{2}}

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.2

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ を

1

$1$ 乗します。

ln ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.3

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ を

1

$1$ 乗します。

ln ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.4

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

ln ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.2.6.5

指数を求めます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$\sqrt{2}$ を

$1$ で割ります。

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 2.3.1.2

$\sqrt{2} + 1$ は約

$2.41421356$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

ステップ 2.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

ステップ 2.3.3

$\sqrt{2} + 1$ を

$1$ で割ります。

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

10進法形式：

$0.88137358 \dots$

微分積分 例

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