微分積分例

$\int_{0}^{\sqrt{19}} 7 x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

ステップ 1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$7 \int_{0}^{\sqrt{19}} x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

ステップ 2

$u = 8 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 8 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$8 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [8 + x^{2}]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $8 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u = 8 + x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 8 + 0^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 8 + 0$

ステップ 2.3.2

$8$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 8$

ステップ 2.4

$u = 8 + x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 8 + {\sqrt{19}}^{2}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

${\sqrt{19}}^{2}$ を $19$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{19}$ を $19^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{upper} = 8 + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.5.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.5.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.5.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.5.1.4.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = 8 + 19^{1}$

ステップ 2.5.1.5

指数を求めます。

$u_{upper} = 8 + 19$

ステップ 2.5.2

$8$ と $19$ をたし算します。

$u_{upper} = 27$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 8$

$u_{upper} = 27$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$7 \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

$\sqrt[3]{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$7 \int_{8}^{27} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$7 (\frac{1}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u)$

ステップ 5

分数をまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $7$ をまとめます。

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{7}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{8}^{27}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$27$ および $8$ で $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ の値を求めます。

$\frac{7}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.4

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.5

$\frac{3}{4}$ と $81$ をまとめます。

$\frac{7}{2} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.6

$3$ に $81$ をかけます。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.7

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.8

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

ステップ 7.2.9

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

ステップ 7.2.9.2

式を書き換えます。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 7.2.10

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 16)$

ステップ 7.2.11

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 16 (\frac{3}{4}))$

ステップ 7.2.12

$- 16$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 16 \cdot 3}{4})$

ステップ 7.2.13

$- 16$ に $3$ をかけます。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 48}{4})$

ステップ 7.2.14

$- 48$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.14.1

$4$ を $- 48$ で因数分解します。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4})$

ステップ 7.2.14.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.14.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 (1)})$

ステップ 7.2.14.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1})$

ステップ 7.2.14.2.3

式を書き換えます。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12}{1})$

ステップ 7.2.14.2.4

$- 12$ を $1$ で割ります。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12)$

ステップ 7.2.15

$- 12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12 \cdot \frac{4}{4})$

ステップ 7.2.16

$- 12$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4})$

ステップ 7.2.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 12 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.18

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.18.1

$- 12$ に $4$ をかけます。

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 48}{4}$

ステップ 7.2.18.2

$243$ から $48$ を引きます。

$\frac{7}{2} \cdot \frac{195}{4}$

ステップ 7.2.19

$\frac{7}{2}$ に $\frac{195}{4}$ をかけます。

$\frac{7 \cdot 195}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.2.20

$7$ に $195$ をかけます。

$\frac{1365}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.2.21

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1365}{8}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1365}{8}$

10進法形式：

$170.625$

帯分数形：

$170 \frac{5}{8}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例