微分積分例

$\int_{0}^{\sqrt[4]{π}} x^{3} \cos (x^{4}) d x$

ステップ 1

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u_{1} = x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2}$

ステップ 1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{1} = x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = {\sqrt[4]{π}}^{2}$

ステップ 1.5

${\sqrt[4]{π}}^{2}$ を $\sqrt{π}$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{π}$ を $π^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{4}})}^{2}$

ステップ 1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = π^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

ステップ 1.5.3

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{4}}$

ステップ 1.5.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$u_{upper} = π^{\frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 1.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.5.4.2.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.5.5

$π^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{π}$ に書き換えます。

$u_{upper} = \sqrt{π}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{π}$

ステップ 1.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ を ${u_{1}}^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{2}$ と $u_{1}$ をまとめます。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

ステップ 2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ と $\cos ({u_{1}}^{2})$ をまとめます。

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

${u_{1}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

ステップ 4.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1}$

ステップ 4.2

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2}$

ステップ 4.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

ステップ 4.5

${\sqrt{π}}^{2}$ を $π$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{π}$ を $π^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 4.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

ステップ 4.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

ステップ 4.5.4.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π^{1}$

ステップ 4.5.5

簡約します。

$u_{upper} = π$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

ステップ 4.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 5

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 8

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{4} \sin (u_{2})]_{0}^{π}$

ステップ 9

$π$ および $0$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{4} (\sin (π) - 0)$

ステップ 10.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\sin (π) + 0)$

ステップ 10.3

$\sin (π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \sin (π)$

ステップ 10.4

$\frac{1}{4}$ と $\sin (π)$ をまとめます。

$\frac{\sin (π)}{4}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{\sin (0)}{4}$

ステップ 11.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{4}$

ステップ 11.2

$0$ を $4$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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