微分積分例

$\int_{0}^{1} x^{3} {(2 x^{4} + 1)}^{2} d x$

ステップ 1

$u = 2 x^{4} + 1$ とします。次に $d u = 8 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{8} d u = x^{3} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x^{4} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x^{4} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x^{4} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$4$ に $2$ をかけます。

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 x^{3} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$8 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$8 x^{3}$

ステップ 1.2

$u = 2 x^{4} + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{4} + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

ステップ 1.3.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 1.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 2 x^{4} + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{4} + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

ステップ 1.5.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 2 + 1$

ステップ 1.5.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 3$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{3} u^{2} \frac{1}{8} d u$

ステップ 2

$u^{2}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\int_{1}^{3} \frac{u^{2}}{8} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} \int_{1}^{3} u^{2} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{8} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{3}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ および $1$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{8} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{3}$ と $27$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 5.2.3

$27$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 5.2.3.2.4

$9$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 5.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 5.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3})$

ステップ 5.2.6

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{8} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 5.2.7

$9$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 5.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

ステップ 5.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.9.1

$9$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

ステップ 5.2.9.2

$27$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{26}{3}$

ステップ 5.2.10

$\frac{1}{8}$ に $\frac{26}{3}$ をかけます。

$\frac{26}{8 \cdot 3}$

ステップ 5.2.11

$8$ に $3$ をかけます。

$\frac{26}{24}$

ステップ 5.2.12

$26$ と $24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.12.1

$2$ を $26$ で因数分解します。

$\frac{2 (13)}{24}$

ステップ 5.2.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.12.2.1

$2$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

ステップ 5.2.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

ステップ 5.2.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{13}{12}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{13}{12}$

10進法形式：

$1.08\overline{3}$

帯分数形：

$1 \frac{1}{12}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例