微分積分例

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \tan (t)$ とします。次に $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2

$\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 3

指数を足して $\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

ステップ 3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{3} (t) d t$

ステップ 4

換算公式を当てはめます。

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) d t$

ステップ 5

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{π}{4}$ および $0$ で $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ の値を求めます。

$(\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

ステップ 6.2

$\frac{π}{4}$ および $0$ で $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ の値を求めます。

$(\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

ステップ 6.3

括弧を削除します。

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

ステップ 7.2

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

ステップ 7.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

ステップ 7.4

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

ステップ 7.5

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

ステップ 7.6

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

ステップ 7.7

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

ステップ 7.8

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.9

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.10

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2}$ を積として書き換えます。

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.11

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.12

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.13

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.13.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.13.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.14

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.15

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.15.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.15.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.15.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.15.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.15.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.15.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{\sqrt{2}} - 0 + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.16

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} + 0 + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.17

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 7.18

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 7.19

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

ステップ 7.20

$\frac{1}{2}$ と $\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$

ステップ 7.21

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$

ステップ 7.22

$\frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.23

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sqrt{2} \cdot 2$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.23.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.23.2

$\frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 7.23.3

$\sqrt{2} \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 7.24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.1.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 8.1.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.2.6.5

指数を求めます。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.1.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 + \ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.1.2

$\sqrt{2} + 1$ は約 $2.41421356$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 + \ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 + \ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3

$\sqrt{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

10進法形式：

$1.14779357 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例