微分積分例

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

ステップ 1

$u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ を $\frac{d}{d x} [x - 1]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.2.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

ステップ 1.1.2.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.1.2.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

ステップ 1.1.2.1.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

ステップ 1.1.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

ステップ 1.3.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

ステップ 1.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

ステップ 1.3.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = \sqrt{1}$

ステップ 1.3.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

ステップ 1.5.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

ステップ 1.5.3

$1$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

ステップ 1.5.4

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = \sqrt{0}$

ステップ 1.5.5

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.5.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{0} u d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

ステップ 3

代入し簡約します。

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ステップ 3.1

$0$ および $1$ で $\frac{1}{2} u^{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 3.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.5

$0$ から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{2}$

10進法形式：

$- 0.5$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例