微分積分例

$\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

ステップ 1

$u = x^{3} + 1$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{3} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2

$u = x^{3} + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{3} + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 1.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = x^{3} + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2^{3} + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $3$ 乗します。

$u_{upper} = 8 + 1$

ステップ 1.5.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$9$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.5

$\frac{2}{3}$ と $27$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.6

$2$ に $27$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.7

$54$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.7.1

$3$ を $54$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.7.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

ステップ 6.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3})$

ステップ 6.2.10

$18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 6.2.11

$18$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 6.2.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

ステップ 6.2.13

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.13.1

$18$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

ステップ 6.2.13.2

$54$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3}$

ステップ 6.2.14

$\frac{1}{3}$ に $\frac{52}{3}$ をかけます。

$\frac{52}{3 \cdot 3}$

ステップ 6.2.15

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{52}{9}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{52}{9}$

10進法形式：

$5.\overline{7}$

帯分数形：

$5 \frac{7}{9}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例