微分積分例

$\int_{0}^{1} 7 x e^{5 x} d x$

ステップ 1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$7 \int_{0}^{1} x e^{5 x} d x$

ステップ 2

$u = x$ と $d v = e^{5 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$7 (x (\frac{1}{5} e^{5 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{5}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$7 (x \frac{e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

ステップ 3.2

$x$ と $\frac{e^{5 x}}{5}$ をまとめます。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

ステップ 3.3

$\frac{1}{5}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{1} e^{5 x} d x))$

ステップ 5

$u = 5 x$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 5.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 5.2

$u = 5 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

ステップ 5.3

$5$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 5.4

$u = 5 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

ステップ 5.5

$5$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 5$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u)$

ステップ 6

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

ステップ 8.2

$5$ に $5$ をかけます。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} e^{u}]_{0}^{5})$

ステップ 10

$e^{u}]_{0}^{5}$ と $\frac{1}{25}$ をまとめます。

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$1$ および $0$ で $\frac{x e^{5 x}}{5}$ の値を求めます。

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

ステップ 11.2

$5$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$7 (\frac{1 e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.2

$e^{5}$ に $1$ をかけます。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.3

$5$ に $0$ をかけます。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 \cdot 1}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.5

$0$ に $1$ をかけます。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.6

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.6.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 (0)}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.6.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.6.2.3

式を書き換えます。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.6.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$7 (\frac{e^{5}}{5} + 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.8

$\frac{e^{5}}{5}$ と $0$ をたし算します。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

ステップ 11.3.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1 \cdot 1}{25})$

ステップ 11.3.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

ステップ 11.3.11

$\frac{e^{5}}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$7 (\frac{e^{5}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

ステップ 11.3.12

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $25$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 11.3.12.1

$\frac{e^{5}}{5}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

ステップ 11.3.12.2

$5$ に $5$ をかけます。

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{25} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

ステップ 11.3.13

公分母の分子をまとめます。

$7 \frac{e^{5} \cdot 5 - (e^{5} - 1)}{25}$

ステップ 11.3.14

$5$ を $e^{5}$ の左に移動させます。

$7 \frac{5 \cdot e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$

ステップ 11.3.15

$7$ と $\frac{5 e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$ をまとめます。

$\frac{7 (5 e^{5} - (e^{5} - 1))}{25}$

ステップ 12

分子を簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} - - 1)}{25}$

ステップ 12.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} + 1)}{25}$

ステップ 12.3

$5 e^{5}$ から $e^{5}$ を引きます。

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

10進法形式：

$166.50273819 \dots$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例