微分積分例

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x^{2} + 1)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ と $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

$x^{2}$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 5.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 + 1$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

ステップ 5.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

ステップ 9.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

ステップ 10

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x)]_{0}^{1}$ です。

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$1$ および $0$ で $\ln (x^{2} + 1) x$ の値を求めます。

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

ステップ 11.2

$1$ および $0$ で $x$ の値を求めます。

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

ステップ 11.3

$1$ および $0$ で $\arctan (x)$ の値を求めます。

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

ステップ 11.4

簡約します。

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ステップ 11.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

ステップ 11.4.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

ステップ 11.4.3

$\ln (2)$ に $1$ をかけます。

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

ステップ 11.4.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

ステップ 11.4.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

ステップ 11.4.6

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

ステップ 11.4.7

$0$ に $\ln (1)$ をかけます。

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

ステップ 11.4.8

$\ln (2)$ と $0$ をたし算します。

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

ステップ 11.4.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

ステップ 12

各項を簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

ステップ 12.1.1.2

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

ステップ 12.1.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

ステップ 12.1.2

$\frac{π}{4}$ と $0$ をたし算します。

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

ステップ 12.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

ステップ 12.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.4.1

$- \frac{π}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

ステップ 12.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

ステップ 12.4.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.4.4

共通因数を約分します。

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.4.5

式を書き換えます。

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

ステップ 12.5

各項を簡約します。

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ステップ 12.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

ステップ 12.5.2

$- - \frac{π}{2}$ を掛けます。

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ステップ 12.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

ステップ 12.5.2.2

$\frac{π}{2}$ に $1$ をかけます。

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

10進法形式：

$0.26394350 \dots$

微分積分 例

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