微分積分例

$\int_{0}^{4} x^{2} \sqrt{16 - x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 4 \sin (t)$ とします。次に $d x = 4 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $4 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

積の法則を $4 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.3

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$16$ を $16$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$16$ を $- 16 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$16$ を $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$16 \cos^{2} (t)$ を ${(4 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ を $4 \sin (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 (\sin (t)))}^{2} (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.2

積の法則を $4 (\sin (t))$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 4^{2} \sin^{2} (t) (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.3

$4$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 16 \sin^{2} (t) (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.4

$4$ に $16$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 \sin^{2} (t) \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.5

$4$ に $64$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 2.2.6

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.7

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 2.2.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t) d t$

ステップ 3

$256$ は $t$ に対して定数なので、 $256$ を積分の外に移動させます。

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t) d t$

ステップ 4

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 5

半角公式を利用して $\sin^{2} (t)$ を $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ に $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ をかけます。

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{2 \cdot 2} d t$

ステップ 6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{4} d t$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$256 (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t)$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{4}$ と $256$ をまとめます。

$\frac{256}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

ステップ 8.2

$256$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$4$ を $256$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 64}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{64}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

ステップ 8.2.2.4

$64$ を $1$ で割ります。

$64 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

ステップ 9

$u_{1} = 2 t$ とします。次に $d u_{1} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u_{1} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 9.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 9.2

$u_{1} = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 9.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 9.4

$u_{1} = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 9.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 9.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

ステップ 9.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

ステップ 9.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$64 \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$64 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

ステップ 11

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$\frac{1}{2}$ と $64$ をまとめます。

$\frac{64}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 11.1.2

$64$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1

$2$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 11.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 11.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 11.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{32}{1} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 11.1.2.2.4

$32$ を $1$ で割ります。

$32 \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 11.2

$(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

分配則を当てはめます。

$32 \int_{0}^{π} 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 11.2.2

分配則を当てはめます。

$32 \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 11.2.3

分配則を当てはめます。

$32 \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11.2.4

$\cos (u_{1})$ を移動させます。

$32 \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11.2.5

$1$ に $1$ をかけます。

$32 \int_{0}^{π} 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11.2.6

$\cos (u_{1})$ に $1$ をかけます。

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11.2.8

負をくくり出します。

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 11.2.9

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 11.2.10

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 11.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

ステップ 11.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11.2.13

$\cos (u_{1})$ から $\cos (u_{1})$ を引きます。

$32 \int_{0}^{π} 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11.2.14

$0$ から $\cos^{2} (u_{1})$ を引きます。

$32 \int_{0}^{π} 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 12

単一積分を複数積分に分割します。

$32 (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 13

定数の法則を当てはめます。

$32 (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 14

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 15

半角公式を利用して $\cos^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 16

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 17

単一積分を複数積分に分割します。

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 18

定数の法則を当てはめます。

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

ステップ 19

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 19.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 19.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 19.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 19.2

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 19.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 19.4

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 19.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 19.6

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

ステップ 20

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

ステップ 21

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

ステップ 22

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

ステップ 23

$\frac{1}{2}$ と $\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}$ をまとめます。

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}))$

ステップ 24

代入し簡約します。

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ステップ 24.1

$π$ および $0$ で $u_{1}$ の値を求めます。

$32 ((π) + 0 - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}))$

ステップ 24.2

$π$ および $0$ で $u_{1}$ の値を求めます。

$32 (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}))$

ステップ 24.3

$2 π$ および $0$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$32 (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}))$

ステップ 24.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.4.1

$π$ と $0$ をたし算します。

$32 (π - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}))$

ステップ 24.4.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}))$

ステップ 25

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π) - 0}{2}))$

ステップ 25.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π) + 0}{2}))$

ステップ 25.3

$\sin (2 π)$ と $0$ をたし算します。

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}))$

ステップ 26

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 26.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 26.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 26.1.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (0)}{2}))$

ステップ 26.1.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{0}{2}))$

ステップ 26.1.2

$0$ を $2$ で割ります。

$32 (π - \frac{1}{2} (π + 0))$

ステップ 26.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$32 (π - \frac{1}{2} π)$

ステップ 26.3

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$32 (π - \frac{π}{2})$

ステップ 26.4

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$32 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 26.5

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$32 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 26.6

公分母の分子をまとめます。

$32 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 26.7

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$32 \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 26.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 26.8.1

$2$ を $32$ で因数分解します。

$2 (16) \frac{2 π - π}{2}$

ステップ 26.8.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 16 \frac{2 π - π}{2}$

ステップ 26.8.3

式を書き換えます。

$16 (2 π - π)$

ステップ 26.9

$2 π$ から $π$ を引きます。

$16 π$

ステップ 27

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$16 π$

10進法形式：

$50.26548245 \dots$

ステップ 28

微分積分 例

微分積分例