微分積分例

$\int_{0}^{π} \sec^{2} (\frac{t}{4}) d t$

ステップ 1

$u = \frac{t}{4}$ とします。次に $d u = \frac{1}{4} d t$ すると、 $4 d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{t}{4}$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{t}{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{4}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{4}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{t}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 1.2

$u = \frac{t}{4}$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

ステップ 1.3

$0$ を $4$ で割ります。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = \frac{t}{4}$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

ステップ 1.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

ステップ 1.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{4}$ で割ります。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 4) d u$

ステップ 2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 4 d u$

ステップ 2.3

$4$ を $\sec^{2} (u)$ の左に移動させます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{2} (u) d u$

ステップ 3

$4$ は $u$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

ステップ 4

$\tan (u)$ の微分係数が $\sec^{2} (u)$ なので、 $\sec^{2} (u)$ の積分は $\tan (u)$ です。

$4 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

ステップ 5

$\frac{π}{4}$ および $0$ で $\tan (u)$ の値を求めます。

$4 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$4 (1 - \tan (0))$

ステップ 6.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 (1 - 0)$

ステップ 6.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$4 (1 + 0)$

ステップ 6.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \cdot 1$

ステップ 6.5

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

微分積分 例

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