微分積分例

$\int_{1}^{2} 4 \sqrt{x} - \frac{5}{x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} 4 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

ステップ 2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{1}^{2} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 \int_{1}^{2} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

ステップ 5

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{5}{x} d x$

ステップ 7

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - (5 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 8

$5$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - 5 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

ステップ 9

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

代入し簡約します。

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ステップ 10.1.1

$2$ および $1$ で $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$4 ((\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

ステップ 10.1.2

$2$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$4 (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.1.3

簡約します。

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ステップ 10.1.3.1

指数を足して $2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.1.3.1.1

$2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ をかけます。

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ステップ 10.1.3.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$4 (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.1.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.1.3.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$4 (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.1.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.1.3.1.4

$2$ と $3$ をたし算します。

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.1.3.5

$4$ と $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ をまとめます。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.1.3.6

$- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 10.1.3.7

$- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} + \frac{- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

ステップ 10.1.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

ステップ 10.1.3.9

$3$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 15 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$

ステップ 10.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \cdot 2^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

ステップ 10.3.2

$4 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.3.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

ステップ 10.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{2 + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

ステップ 10.3.2.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

ステップ 10.3.2.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

ステップ 10.3.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2 \cdot 2 + 5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

ステップ 10.3.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.2.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{4 + 5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

ステップ 10.3.2.6.2

$4$ と $5$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{9}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

ステップ 10.3.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

ステップ 10.3.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{2}{| 1 |})}{3}$

ステップ 10.3.5

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{2}{1})}{3}$

ステップ 10.3.6

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (2)}{3}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (2)}{3}$

10進法形式：

$1.41006976 \dots$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例