微分積分例

$\int_{1}^{2} \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

ステップ 1

$u = 3 - 5 x$ とします。次に $d u = - 5 d x$ すると、 $- \frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 - 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 - 5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $3 - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 5 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$0 - 5$

ステップ 1.1.4

$0$ から $5$ を引きます。

$- 5$

ステップ 1.2

$u = 3 - 5 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 - 5 \cdot 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 5$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 3 - 5$

ステップ 1.3.2

$3$ から $5$ を引きます。

$u_{lower} = - 2$

ステップ 1.4

$u = 3 - 5 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 - 5 \cdot 2$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$- 5$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 3 - 10$

ステップ 1.5.2

$3$ から $10$ を引きます。

$u_{upper} = - 7$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 7$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

ステップ 2.2

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

ステップ 2.3

$5$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} d u)$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{- 2} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- \frac{1}{5} - u^{- 1}]_{- 2}^{- 7}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$- 7$ および $- 2$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{5} ((- {(- 7)}^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{- 7} + {(- 2)}^{- 1})$

ステップ 7.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5} (- - \frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

ステップ 7.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{7}) + {(- 2)}^{- 1})$

ステップ 7.2.4

$\frac{1}{7}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

ステップ 7.2.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + \frac{1}{- 2})$

ステップ 7.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.7

$\frac{1}{7}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.8

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

ステップ 7.2.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $14$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.9.1

$\frac{1}{7}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

ステップ 7.2.9.2

$7$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

ステップ 7.2.9.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7})$

ステップ 7.2.9.4

$2$ に $7$ をかけます。

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{14})$

ステップ 7.2.10

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2 - 7}{14}$

ステップ 7.2.11

$2$ から $7$ を引きます。

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{- 5}{14}$

ステップ 7.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5} (- \frac{5}{14})$

ステップ 7.2.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{5}) \frac{5}{14}$

ステップ 7.2.14

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{14}$

ステップ 7.2.15

$\frac{1}{5}$ に $\frac{5}{14}$ をかけます。

$\frac{5}{5 \cdot 14}$

ステップ 7.2.16

$5$ に $14$ をかけます。

$\frac{5}{70}$

ステップ 7.2.17

$5$ と $70$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.17.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (1)}{70}$

ステップ 7.2.17.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.17.2.1

$5$ を $70$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

ステップ 7.2.17.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

ステップ 7.2.17.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{14}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{14}$

10進法形式：

$0.0\overline{714285}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例