微分積分例

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{4} (u - 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

$(u - 2) u^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{4} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{4} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{4} u^{1 - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$4$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

ステップ 9.2

$4$ および $1$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.4

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.5

$\frac{2}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.6

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{16 - 2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.10

$16$ から $2$ を引きます。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.11

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.12

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.13

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.13.1

共通因数を約分します。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.13.2

式を書き換えます。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.14

指数を求めます。

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.15

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.16

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1)$

ステップ 9.3.17

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2)$

ステップ 9.3.18

$4$ から $2$ を引きます。

$\frac{14}{3} - 2 \cdot 2$

ステップ 9.3.19

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{14}{3} - 4$

ステップ 9.3.20

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{14}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 9.3.21

$- 4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{14}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 9.3.22

公分母の分子をまとめます。

$\frac{14 - 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 9.3.23

分子を簡約します。

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ステップ 9.3.23.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{14 - 12}{3}$

ステップ 9.3.23.2

$14$ から $12$ を引きます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{6}$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例