微分積分例

$\int_{1}^{4} x^{2} + \sqrt{x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

ステップ 2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}$ と $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4$ および $1$ で $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2

簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $64$ をまとめます。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.6

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 8 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.7

$\frac{2}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.8

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{64}{3} + \frac{16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{64 + 16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.10

$64$ と $16$ をたし算します。

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.11

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.12

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 5.2.2.13

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1)$

ステップ 5.2.2.14

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 5.2.2.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{80}{3} - \frac{1 + 2}{3}$

ステップ 5.2.2.16

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

ステップ 5.2.2.17

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.17.1

共通因数を約分します。

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

ステップ 5.2.2.17.2

式を書き換えます。

$\frac{80}{3} - 1 \cdot 1$

ステップ 5.2.2.18

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{80}{3} - 1$

ステップ 5.2.2.19

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{80}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 5.2.2.20

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{80}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 5.2.2.21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{80 - 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 5.2.2.22

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.2.22.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{80 - 3}{3}$

ステップ 5.2.2.22.2

$80$ から $3$ を引きます。

$\frac{77}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{77}{3}$

10進法形式：

$25.\overline{6}$

帯分数形：

$25 \frac{2}{3}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例