微分積分例

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

ステップ 2

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{- 2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x$

ステップ 3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x$

ステップ 3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

ステップ 3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.1.2

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 5.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 5.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ と $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e}$

ステップ 7.2

代入し簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e$ および $1$ で $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ の値を求めます。

$(- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1})$

ステップ 7.2.2

簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$\ln (1)$ を $1$ で割ります。

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1})$

ステップ 7.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1)$

ステップ 7.2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1)$

ステップ 7.2.2.4

$- (- \ln (1) - 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e}$

ステップ 7.2.2.5

$- (- \ln (1) - 1)$ と $\frac{e}{e}$ をまとめます。

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.2.2.6

公分母の分子をまとめます。

$- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.2.2.7

$- e^{- 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.2.2.8

$- e^{- 1}$ と $\frac{e}{e}$ をまとめます。

$\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.2.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.2.2.10

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.2.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.2.2.12

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.2.2.13

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.2.2.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.3.2

$- 1$ を $- \ln (e)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - (\ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.3.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (\ln (e))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.3.4

$- 1$ を $- (- \ln (1) - 1) e$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)}{e}$

ステップ 7.3.5

$- 1$ を $- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

ステップ 7.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 7.4

簡約します。

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ステップ 7.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- \frac{1 + \ln (e) + (- 0 - 1) e}{e}$

ステップ 7.4.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1 + \ln (e) + (0 - 1) e}{e}$

ステップ 7.4.3

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1 + \ln (e) - 1 e}{e}$

ステップ 7.4.4

$- 1 e$ を $- e$ に書き換えます。

$- \frac{1 + \ln (e) - e}{e}$

ステップ 7.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.5.1

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- \frac{1 + 1 - e}{e}$

ステップ 7.4.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 - e}{e}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{2 - e}{e}$

10進法形式：

$0.26424111 \dots$

微分積分 例

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