微分積分例

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 7]$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 2 x$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 1.2

$f (x)$ は $[0, 7]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2

$f (x) = x^{2} + 2 x$ が微分可能か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 \cdot 1$

ステップ 2.1.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 2 x + 2$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x + 2$ です。

$2 x + 2$

ステップ 2.2

微分係数が $[0, 7]$ 上で連続か求めます。

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ステップ 2.2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2.2

$f' (x)$ は $[0, 7]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2.3

微分係数が $[0, 7]$ で連続なので、関数は $[0, 7]$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 3

弧長を保証するためには、関数とその微分係数がともに閉区間 $[0, 7]$ 上で連続であることが必要です。

関数とその微分係数は閉区間 $[0, 7]$ 上で連続です。

ステップ 4

$f (x) = x^{2} + 2 x$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 \cdot 1$

ステップ 4.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x + 2$

ステップ 5

関数の弧の長さを求めるために公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ を利用してます。

$\int_{0}^{7} \sqrt{1 + {(2 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 6

積分を求めます。

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ステップ 6.1

平方を完成させます。

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ステップ 6.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = 8$

$c = 5$

ステップ 6.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 6.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 6.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.2.1

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

ステップ 6.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 6.1.3.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 6.1.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 6.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 6.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 5 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 6.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.4.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$e = 5 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

ステップ 6.1.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 5 - \frac{64}{16}$

ステップ 6.1.4.2.1.3

$64$ を $16$ で割ります。

$e = 5 - 1 \cdot 4$

ステップ 6.1.4.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 5 - 4$

ステップ 6.1.4.2.2

$5$ から $4$ を引きます。

$e = 1$

ステップ 6.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(x + 1)}^{2} + 1$ に代入します。

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 {(x + 1)}^{2} + 1} d x$

ステップ 6.2

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 6.2.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.2.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2.2

$u = x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 6.2.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 6.2.4

$u = x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 7 + 1$

ステップ 6.2.5

$7$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 8$

ステップ 6.2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

ステップ 6.2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{8} \sqrt{4 u^{2} + 1} d u$

ステップ 6.3

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u = \frac{1}{2} \tan (t)$ とします。次に $d u = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.4

項を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.4.1.1.2

積の法則を $\frac{\tan (t)}{2}$ に当てはめます。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.4.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.4.1.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.4.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.4.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.4.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.4.2

簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$\sec (t)$ と $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ をまとめます。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.4.2.2

指数を足して $\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ を掛けます。

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ステップ 6.4.2.2.1

$\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.1

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.4.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

ステップ 6.4.2.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 6.5

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec^{3} (t) d t$

ステップ 6.6

換算公式を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec (t) d t)$

ステップ 6.7

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751})$

ステップ 6.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

ステップ 6.8.2

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

ステップ 6.8.3

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

ステップ 6.8.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$

ステップ 6.8.5

$2$ を $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$

ステップ 6.8.6

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$ をかけます。

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.8.7

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{4}$

ステップ 6.9

代入し簡約します。

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ステップ 6.9.1

$1.50837751$ および $1.10714871$ で $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ の値を求めます。

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{4}$

ステップ 6.9.2

$1.50837751$ および $1.10714871$ で $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ の値を求めます。

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + (\ln (| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |)) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

ステップ 6.9.3

不要な括弧を削除します。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

ステップ 6.10

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1.1

$\tan (1.10714871)$ の値を求めます。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{2 \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.1.2

$\sec (1.10714871)$ の値を求めます。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{2 \cdot 2.23606797}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.2

$2$ に $2.23606797$ をかけます。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{4.47213595}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.3

$4.47213595$ を $2$ で割ります。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - 1 \cdot 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.4

$- 1$ に $2.23606797$ をかけます。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.5.1.1

$\tan (1.50837751)$ の値を求めます。

$\frac{2 (\frac{16 \sec (1.50837751)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.5.1.2

$\sec (1.50837751)$ の値を求めます。

$\frac{2 (\frac{16 \cdot 16.03121954}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.5.2

$16$ に $16.03121954$ をかけます。

$\frac{2 (\frac{256.49951267}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.5.3

$256.49951267$ を $2$ で割ります。

$\frac{2 (128.24975633 - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.6

$128.24975633$ から $2.23606797$ を引きます。

$\frac{2 \cdot 126.01368835 + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.7

$2$ に $126.01368835$ をかけます。

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.8

$\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)$ は約 $32.03121954$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

ステップ 6.11.9

$\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)$ は約 $4.23606797$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

10進法形式：

$63.51261306 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例