微分積分例

$g (x) = \sqrt{9 - x}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \sqrt{9 - (x + h)}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\sqrt{9 - x - h}$ です。

$\sqrt{9 - x - h}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

$f (x) = \sqrt{9 - x}$

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

$f (x) = \sqrt{9 - x}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - (\sqrt{9 - x})}{h}$

ステップ 4

$- 1$ に $\sqrt{9 - x}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{h}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - x - h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\sqrt{9 - x}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.7

項を加えて簡約します。

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ステップ 5.1.2.7.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 - x + 0} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.7.2

$\sqrt{9 - x + 0} - \sqrt{9 - x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.2.7.2.1

$9 - x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{9 - x} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.7.2.2

$\sqrt{9 - x}$ から $\sqrt{9 - x}$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.2

総和則では、 $\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3

$\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 - x - h}$ を ${(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2

$f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ および $g (h) = 9 - x - h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 - x - h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $9 - x - h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.3

総和則では、 $9 - x - h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.4

$9$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.5

$- x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.6

$- 1$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- h$ の微分係数は $- \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 - \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.10

公分母の分子をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.12

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.13

$0$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.15

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.16

$\frac{1}{2}$ と ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.17

$\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.18

$- 1$ を ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.19

$- 1 {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ を $- {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.20

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.21

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4

$- \sqrt{9 - x}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- \sqrt{9 - x}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5

$- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 5.5

${(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{9 - x - h}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}} \cdot 1$

ステップ 5.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}}$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - x - h}}$

ステップ 6.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h}}$

ステップ 6.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h}}$

ステップ 6.5

根号の下に極限を移動させます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - x - h}}$

ステップ 6.6

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

ステップ 6.7

$h$ が $0$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

ステップ 6.8

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h}}$

ステップ 6.9

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x + 0}}$

ステップ 6.9.2

答えを簡約します。

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ステップ 6.9.2.1

$9 - x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x}}$

ステップ 6.9.2.2

$\frac{1}{\sqrt{9 - x}}$ に $\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}}$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{9 - x}} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}})$

ステップ 6.9.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.9.2.3.1

$\frac{1}{\sqrt{9 - x}}$ に $\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}}$ をかけます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x} \sqrt{9 - x}}$

ステップ 6.9.2.3.2

$\sqrt{9 - x}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1} \sqrt{9 - x}}$

ステップ 6.9.2.3.3

$\sqrt{9 - x}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1} {\sqrt{9 - x}}^{1}}$

ステップ 6.9.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.9.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{2}}$

ステップ 6.9.2.3.6

${\sqrt{9 - x}}^{2}$ を $9 - x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 - x}$ を ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.9.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.9.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.9.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.9.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{1}}$

ステップ 6.9.2.3.6.5

簡約します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{9 - x}$

ステップ 6.9.2.4

$\frac{\sqrt{9 - x}}{9 - x}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{9 - x}}{(9 - x) \cdot 2}$

ステップ 6.9.2.5

$2$ を $9 - x$ の左に移動させます。

$- \frac{\sqrt{9 - x}}{2 (9 - x)}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例