微分積分例

$f (x) = \sqrt{x}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 1.1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 1.1.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 1.1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 1.1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 1.1.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 1.1.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.1.8

簡約します。

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ステップ 1.1.1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.1.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 1.1.2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2.3

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.1.2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

ステップ 1.1.2.7.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

ステップ 1.1.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 1.1.2.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 1.1.2.10

$\frac{1}{2}$ に $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ をかけます。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.1.2.11

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.11.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

ステップ 1.1.2.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ です。

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 1.2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = \sqrt{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$[0, \infty)$

ステップ 4

区間 $[0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.6.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 4.2.2

最終的な答えは $- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ です。

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 4.3

$f'' (2)$ が負なので、区間 $[0, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $[0, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例