微分積分例

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x}$ を ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $4 - x$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.1.8

総和則では、 $4 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 1.1.1.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 1.1.1.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 1.1.1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

ステップ 1.1.1.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.1.1.13

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.1.13.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

ステップ 1.1.1.13.2

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.1.13.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

ステップ 1.1.2.1.2.2

${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

ステップ 1.1.2.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x$ とします。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $4 - x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.7.2

${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.7.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.7.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.7.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.7.3.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

ステップ 1.1.2.7.4

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.2.7.5

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.2.8

総和則では、 $4 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 1.1.2.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 1.1.2.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 1.1.2.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

ステップ 1.1.2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.1.2.13

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.2.13.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot - 1$

ステップ 1.1.2.13.2

$\frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.2.13.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ です。

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 1.2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = \sqrt{4 - x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt{4 - x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 - x \geq 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$- x \geq - 4$

ステップ 2.2.2

$- x \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- x \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq 4$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 4]$

集合の内包的記法：

${x | x \leq 4}$

区間記号：

$(- \infty, 4]$

集合の内包的記法：

${x | x \leq 4}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 4]$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 4]$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$4$ から $0$ を引きます。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 4.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 4.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{3}}$

ステップ 4.2.1.5

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 8}$

ステップ 4.2.2

$4$ に $8$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{1}{32}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{32}$ です。

$- \frac{1}{32}$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, 4]$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 4]$ で下に凹します。

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例