微分積分例

$f (x) = \frac{3}{x - 5}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x - 5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 5}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 5})$

ステップ 1.1.1.1.2

$\frac{1}{x - 5}$ を ${(x - 5)}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{- 1})$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$f' (x) = 3 (- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = - 3 ({(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.1.3.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 1.1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 1.1.1.3.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

ステップ 1.1.1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.5.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2}$

ステップ 1.1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{{(x - 5)}^{2}}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ を ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$

ステップ 1.1.2.1.2.2

${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 2}$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 3 (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.2.3

微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.2.3.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 1.1.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 1.1.2.3.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0)$

ステップ 1.1.2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3.5.2

$6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3}$

ステップ 1.1.2.4

簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{{(x - 5)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.4.2

$6$ と $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$ です。

$\frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{6}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{6}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$6 = 0$

ステップ 1.2.3

$6 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = \frac{3}{x - 5}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{3}{x - 5}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 5}$

区間記号：

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 5}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 5)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{6}{{((0) - 5)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ から $5$ を引きます。

$f'' (0) = \frac{6}{{(- 5)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.2

$- 5$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{6}{- 125}$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0) = - \frac{6}{125}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- \frac{6}{125}$ です。

$- \frac{6}{125}$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, 5)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 5)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(5, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f'' (8) = \frac{6}{{((8) - 5)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$8$ から $5$ を引きます。

$f'' (8) = \frac{6}{3^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (8) = \frac{6}{27}$

ステップ 5.2.2

$6$ と $27$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f'' (8) = \frac{3 (2)}{27}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$f'' (8) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 9}$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (8) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 9}$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (8) = \frac{2}{9}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $\frac{2}{9}$ です。

$\frac{2}{9}$

ステップ 5.3

$f'' (8)$ が正なので、区間 $(5, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(5, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 5)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(5, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例