微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$x^{2} - 9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$f (x) = - x^{2} - 9$ および $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.2

総和則では、 $- x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.6

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.7

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 9$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 9$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2

総和則では、 $x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5.2

$2$ を $x^{2} - 9$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) (2 \cdot ((x^{2} - 9) x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} - 9)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.2

${(x^{2} - 9)}^{2}$ を $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} - 9) (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 9) - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.2

$- 9$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 \cdot x^{2} - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.3

$- 9$ に $- 9$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.2

$- 9 x^{2}$ から $9 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 18 x^{2}) - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.6.1

$- 18$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.6.2

$- 2$ に $81$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 162) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{1 + 2} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.9.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.9.2

$- 4$ に $- 9$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.10

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2 + 1} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} (x^{3} - 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{2} x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{1 + 2}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{3}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.4

$4$ に $- 9$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.5

$- 9$ に $36$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.2

$- 36 x^{3}$ と $36 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 0 - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.3

$4 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.2

$- 2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.3

$- 162 x$ から $324 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.4.1

$2 x$ を $2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.4.1.1

$2 x$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.2

$2 x$ を $36 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.3

$2 x$ を $- 486 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.4

$2 x$ を $2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.5

$2 x$ を $2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} + 18 u - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.4

たすき掛けを利用して $u^{2} + 18 u - 243$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 243$ で、その和が $18$ です。

$- 9, 27$

ステップ 1.1.2.5.4.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 9) (u + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.5.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.5.3

積の法則を $(x + 3) (x - 3)$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.6

$x + 3$ と ${(x + 3)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.6.1

$x + 3$ を $2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.6.2.1

$x + 3$ を ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

ステップ 1.1.2.5.6.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

ステップ 1.1.2.5.6.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.7

$x - 3$ と ${(x - 3)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.7.1

$x - 3$ を $(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.7.2.1

$x - 3$ を ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

ステップ 1.1.2.5.7.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

ステップ 1.1.2.5.7.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ です。

$\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 x (x^{2} + 27) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} + 27 = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.3.3

$x^{2} + 27$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$x^{2} + 27$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 27 = 0$

ステップ 1.2.3.3.2

$x$ について $x^{2} + 27 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.1

方程式の両辺から $27$ を引きます。

$x^{2} = - 27$

ステップ 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

ステップ 1.2.3.3.2.3

$\pm \sqrt{- 27}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.3.1

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.4

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.3.4.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

ステップ 1.2.3.3.2.3.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.4

最終解は $2 x (x^{2} + 27) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

ステップ 2

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x}{x^{2} - 9}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x^{2} = 9$

ステップ 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 2.2.3

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 3, - 3}$

区間記号：

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 3, - 3}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 3)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f'' (- 6) = \frac{2 (- 6) ({(- 6)}^{2} + 27)}{{((- 6) + 3)}^{3} {((- 6) - 3)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 6 + 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

ステップ 4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 6$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

ステップ 4.2.2.2

$- 6$ から $3$ を引きます。

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 9)}^{3}}$

ステップ 4.2.2.3

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 {(- 9)}^{3}}$

ステップ 4.2.2.4

$- 9$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{- 12 (36 + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

ステップ 4.2.3.2

$36$ と $27$ をたし算します。

$f'' (- 6) = \frac{- 12 \cdot 63}{- 27 \cdot - 729}$

ステップ 4.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$- 27$ に $- 729$ をかけます。

$f'' (- 6) = \frac{- 12 \cdot 63}{19683}$

ステップ 4.2.4.2

$- 12$ に $63$ をかけます。

$f'' (- 6) = \frac{- 756}{19683}$

ステップ 4.2.4.3

$- 756$ と $19683$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

$27$ を $- 756$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{27 (- 28)}{19683}$

ステップ 4.2.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.2.1

$27$ を $19683$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 28}{27 \cdot 729}$

ステップ 4.2.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 28}{27 \cdot 729}$

ステップ 4.2.4.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 6) = \frac{- 28}{729}$

ステップ 4.2.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 6) = - \frac{28}{729}$

ステップ 4.2.5

最終的な答えは $- \frac{28}{729}$ です。

$- \frac{28}{729}$

ステップ 4.3

$f'' (- 6)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 3)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 3)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 3, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 27)}{{((- 2) + 3)}^{3} {((- 2) - 3)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{{(- 2 + 3)}^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 5)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 {(- 5)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.4

$- 5$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 \cdot - 125}$

ステップ 5.2.2.5

$- 125$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{- 125}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 (4 + 27)}{- 125}$

ステップ 5.2.3.2

$4$ と $27$ をたし算します。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 31}{- 125}$

ステップ 5.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 4$ に $31$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{- 124}{- 125}$

ステップ 5.2.4.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$f'' (- 2) = \frac{124}{125}$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $\frac{124}{125}$ です。

$\frac{124}{125}$

ステップ 5.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- 3, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3, 0)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, 3)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{2 (2) ({(2)}^{2} + 27)}{{((2) + 3)}^{3} {((2) - 3)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{{(2 + 3)}^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ と $3$ をたし算します。

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(- 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$5$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{125 {(- 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{125 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{4 (4 + 27)}{125 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.3.2

$4$ と $27$ をたし算します。

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 31}{125 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.4

式を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$125$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 31}{- 125}$

ステップ 6.2.4.2

$4$ に $31$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{124}{- 125}$

ステップ 6.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (2) = - \frac{124}{125}$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- \frac{124}{125}$ です。

$- \frac{124}{125}$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が負なので、区間 $(0, 3)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 3)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(3, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = \frac{2 (6) ({(6)}^{2} + 27)}{{((6) + 3)}^{3} {((6) - 3)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{{(6 + 3)}^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$6$ と $3$ をたし算します。

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{9^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$6$ から $3$ を引きます。

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{9^{3} \cdot 3^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$9$ を $3$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 3^{3}}$

ステップ 7.2.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 27}$

ステップ 7.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{12 (36 + 27)}{729 \cdot 27}$

ステップ 7.2.3.2

$36$ と $27$ をたし算します。

$f'' (6) = \frac{12 \cdot 63}{729 \cdot 27}$

ステップ 7.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 7.2.4.1

$729$ に $27$ をかけます。

$f'' (6) = \frac{12 \cdot 63}{19683}$

ステップ 7.2.4.2

$12$ に $63$ をかけます。

$f'' (6) = \frac{756}{19683}$

ステップ 7.2.4.3

$756$ と $19683$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.3.1

$27$ を $756$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{27 (28)}{19683}$

ステップ 7.2.4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.3.2.1

$27$ を $19683$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 28}{27 \cdot 729}$

ステップ 7.2.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 28}{27 \cdot 729}$

ステップ 7.2.4.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (6) = \frac{28}{729}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $\frac{28}{729}$ です。

$\frac{28}{729}$

ステップ 7.3

$f'' (6)$ が正なので、区間 $(3, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(3, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 3)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 3)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(3, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例