微分積分例

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x {(x - 2)}^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.1.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.1.4

微分します。

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ステップ 1.1.1.4.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.1.4.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.1.4.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.1.4.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 1.1.1.4.6

${(x - 2)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

ステップ 1.1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

ステップ 1.1.1.5.2

$3$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

ステップ 1.1.1.5.3

$3 {(x - 2)}^{2}$ を $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.3.1

$3 {(x - 2)}^{2}$ を $9 x {(x - 2)}^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

ステップ 1.1.1.5.3.2

$3 {(x - 2)}^{2}$ を $3 {(x - 2)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.3.3

$3 {(x - 2)}^{2}$ を $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.4

$3 x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.5

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.6.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.7.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.7.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.7.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.8

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.9.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.9.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

ステップ 1.1.1.5.10

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ を展開します。

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.5.11.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.11.2.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.1.1.5.11.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.11.6.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.7

$- 12$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.8

$- 2$ に $- 12$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.9

$4$ に $12$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

ステップ 1.1.1.5.11.10

$12$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

ステップ 1.1.1.5.12

$- 6 x^{2}$ から $48 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

ステップ 1.1.1.5.13

$24 x$ と $48 x$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 1.1.2.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$- 54$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 54 x^{2}$ の微分係数は $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ に $- 54$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{d}{d x} [72 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $72 x$ の微分係数は $72 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 1.1.2.4.3

$72$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 1.1.2.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$- 24$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 24$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

ステップ 1.1.2.5.2

$36 x^{2} - 108 x + 72$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $36 x^{2} - 108 x + 72$ です。

$36 x^{2} - 108 x + 72$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$36$ を $36 x^{2} - 108 x + 72$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$36$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$36$ を $- 108 x$ で因数分解します。

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$36$ を $72$ で因数分解します。

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

ステップ 1.2.2.1.4

$36$ を $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ で因数分解します。

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$36$ を $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ で因数分解します。

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

ステップ 1.2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x + 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 1.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.6

最終解は $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, 1$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

ステップ 4.2.1.2

$36$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

ステップ 4.2.1.3

$- 108$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

ステップ 4.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 72$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $72$ をたし算します。

$f'' (0) = 72$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $72$ です。

$72$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 1)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(1, 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1.5$ で置換えます。

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$1.5$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

ステップ 5.2.1.2

$36$ に $2.25$ をかけます。

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

ステップ 5.2.1.3

$- 108$ に $1.5$ をかけます。

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$81$ から $162$ を引きます。

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

ステップ 5.2.2.2

$- 81$ と $72$ をたし算します。

$f'' (1.5) = - 9$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 9$ です。

$- 9$

ステップ 5.3

$f'' (1.5)$ が負なので、区間 $(1, 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(1, 2)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(2, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

ステップ 6.2.1.2

$36$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

ステップ 6.2.1.3

$- 108$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$576$ から $432$ を引きます。

$f'' (4) = 144 + 72$

ステップ 6.2.2.2

$144$ と $72$ をたし算します。

$f'' (4) = 216$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $216$ です。

$216$

ステップ 6.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(2, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(1, 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例