微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ を $x^{2} + 4$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2

$2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{8 x + 0}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2.2

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

ステップ 1.2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

ステップ 1.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

ステップ 1.2.3.3

${(x^{2} + 4)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

ステップ 1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 4$ とします。

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

ステップ 1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

ステップ 1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

ステップ 1.2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

ステップ 1.2.5.2

$x^{2} + 4$ を ${(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

$x^{2} + 4$ を ${(x^{2} + 4)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

ステップ 1.2.5.2.2

$x^{2} + 4$ を $- 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ で因数分解します。

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

ステップ 1.2.5.2.3

$x^{2} + 4$ を $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

ステップ 1.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x^{2} + 4$ を ${(x^{2} + 4)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.6.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.7

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = 8 (\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

ステップ 1.2.16

$8$ と $\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.2.1

$- 3$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.2.2

$8$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.3

$8$ を $- 24 x^{2} + 32$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.3.1

$8$ を $- 24 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.3.2

$8$ を $32$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.3.3

$8$ を $8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.4

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.5

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.6

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.7

$- (3 x^{2} - 4)$ を $- 1 (3 x^{2} - 4)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 (- 1 (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.17.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ です。

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$8 (3 x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$8 (3 x^{2} - 4) = 0$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$8 (3 x^{2} - 4) = 0$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$3 x^{2} - 4$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 4 = \frac{0}{8}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $8$ で割ります。

$3 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$3 x^{2} = 4$

ステップ 2.3.3

$3 x^{2} = 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$3 x^{2} = 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 2.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 2.3.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{4}{3}$

ステップ 2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

ステップ 2.3.5

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ を $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.3.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.3.5.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.3.5.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.3.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.3.5.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.3.5.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.3.5.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.3.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.3.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.3.5.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ を $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

積の法則を $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.1

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.2.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.2.3.5

指数を求めます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.4

$4$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{12}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.5

$12$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.5.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 (4)}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.5.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1.1

積の法則を $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.1.2

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.2.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.2.2.5

指数を求めます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.4

$4$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.5

$12$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.5.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.5.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.5.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

ステップ 3.1.2.2.6

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.1.2.2.7

$4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.1.2.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.1.2.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.9.1

$4$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

ステップ 3.1.2.2.9.2

$4$ と $12$ をたし算します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

ステップ 3.1.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

ステップ 3.1.2.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

ステップ 3.1.2.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.1.2.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

ステップ 3.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

ステップ 3.1.2.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

ステップ 3.1.2.6

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 3.2

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ で代入して $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 求めた点は、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

ステップ 3.3

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ を $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

積の法則を $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.3

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

積の法則を $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2.5

指数を求めます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.6

$4$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{12}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.7

$12$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.7.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 (4)}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.7.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.7.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.7.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4}{3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.1.8

$\frac{4}{3}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

積の法則を $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

積の法則を $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

ステップ 3.3.2.2.1.3

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

ステップ 3.3.2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

ステップ 3.3.2.2.3

$\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.4.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.4.2.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.4.2.5

指数を求めます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.5

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.6

$4$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.7

$12$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.7.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.7.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

ステップ 3.3.2.2.8

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.3.2.2.9

$4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.3.2.2.10

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.3.2.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.11.1

$4$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

ステップ 3.3.2.2.11.2

$4$ と $12$ をたし算します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

ステップ 3.3.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

ステップ 3.3.2.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

ステップ 3.3.2.4.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.3.2.4.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

ステップ 3.3.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

ステップ 3.3.2.5.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

ステップ 3.3.2.6

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 3.4

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ で代入して $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 求めた点は、 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.25470053$ で置換えます。

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 {(- 1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.25470053$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $1.57427344$ をかけます。

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.3

$4.72282032$ から $4$ を引きます。

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 1.25470053$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$1.57427344$ と $4$ をたし算します。

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$5.57427344$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$8$ に $0.72282032$ をかけます。

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

ステップ 5.2.3.2

$5.78256258$ を $173.20674748$ で割ります。

$f'' (- 1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

ステップ 5.2.3.3

$- 1$ に $0.03338531$ をかけます。

$f'' (- 1.25470053) = - 0.03338531$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- 0.03338531$ です。

$- 0.03338531$

ステップ 5.3

$- 1.25470053$ で二次導関数は $- 0.03338531$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{8 (3 {(0)}^{2} - 4)}{{({(0)}^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - \frac{8 (3 \cdot 0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{8 (0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ から $4$ を引きます。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0 + 4)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{4^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$4$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{64}$

ステップ 6.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$8$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{- 32}{64}$

ステップ 6.2.3.2

$- 32$ と $64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$32$ を $- 32$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{32 (- 1)}{64}$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.1

$32$ を $64$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

ステップ 6.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

ステップ 6.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = - \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0) = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2}$

ステップ 6.3

$0$ で二次導関数は $0.5$ です。これは正の値なので、 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ で増加

ステップ 7

区間 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.25470053$ で置換えます。

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 {(1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1.25470053$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $1.57427344$ をかけます。

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.3

$4.72282032$ から $4$ を引きます。

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$1.25470053$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$1.57427344$ と $4$ をたし算します。

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$5.57427344$ を $3$ 乗します。

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

ステップ 7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$8$ に $0.72282032$ をかけます。

$f'' (1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

ステップ 7.2.3.2

$5.78256258$ を $173.20674748$ で割ります。

$f'' (1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

ステップ 7.2.3.3

$- 1$ に $0.03338531$ をかけます。

$f'' (1.25470053) = - 0.03338531$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- 0.03338531$ です。

$- 0.03338531$

ステップ 7.3

$1.25470053$ で二次導関数は $- 0.03338531$ です。これは負の値なので、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ で減少

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例