微分積分例

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

ステップ 1

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 8 + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

総和則では、 $8 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ をたし算します。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.5

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.5.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.6.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.2.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.2.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.6.2.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.6.2.2

$8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.2.2.1

$e^{2 x}$ から $e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.6.2.2.2

$8 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = {(8 + e^{x})}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2.3

${({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 8 + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $8 + e^{x}$ とします。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3

$u$ のすべての発生を $8 + e^{x}$ で置き換えます。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.6.2

総和則では、 $8 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.6.3

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.6.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ をたし算します。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.9

$x$ と $x$ をたし算します。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.10

$8 + e^{x}$ を ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

$8 + e^{x}$ を ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.10.2

$8 + e^{x}$ を $- 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ で因数分解します。

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.10.3

$8 + e^{x}$ を $(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ で因数分解します。

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.2.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1

$8 + e^{x}$ を ${(8 + e^{x})}^{4}$ で因数分解します。

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.11.2

共通因数を約分します。

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.11.3

式を書き換えます。

$8 \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.12

$8$ と $\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{8 ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (8 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1.1

$8$ に $8$ をかけます。

$\frac{64 e^{x} + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{x + x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.2.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.3

$- 2$ に $8$ をかけます。

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} - 16 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.2

$8 e^{2 x}$ から $16 e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{64 e^{x} - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.4.1

$8$ を $64 e^{x} - 8 e^{2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.4.1.1

$8$ を $64 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{8 (8 e^{x}) - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.1.2

$8$ を $- 8 e^{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.1.3

$8$ を $8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})$ で因数分解します。

$\frac{8 (8 e^{x} - e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.2

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{8 (8 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.3

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$\frac{8 (8 u - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.4

$u$ を $8 u - u^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.4.4.1

$u$ を $8 u$ で因数分解します。

$\frac{8 (u \cdot 8 - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.4.2

$u$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 (u \cdot 8 + u (- u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.4.3

$u$ を $u \cdot 8 + u (- u)$ で因数分解します。

$\frac{8 (u (8 - u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.5

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ です。

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

ステップ 3.3.2

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 3.3.2.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 3.3.2.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.3.3

$8 - e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$8 - e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$8 - e^{x} = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x$ について $8 - e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$- e^{x} = - 8$

ステップ 3.3.3.2.2

$- e^{x} = - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

$- e^{x} = - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.2.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.3.1

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$e^{x} = 8$

ステップ 3.3.3.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

ステップ 3.3.3.2.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.4.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (8)$

ステップ 3.3.3.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (8)$

ステップ 3.3.3.2.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (8)$

ステップ 3.3.4

最終解は $8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (8)$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\ln (8)$ を $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\ln (8)$ で置換えます。

$f (\ln (8)) = \frac{e^{\ln (8)}}{8 + e^{\ln (8)}}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + e^{\ln (8)}}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + 8}$

ステップ 4.1.2.2.2

$8$ と $8$ をたし算します。

$f (\ln (8)) = \frac{8}{16}$

ステップ 4.1.2.3

$8$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$f (\ln (8)) = \frac{8 (1)}{16}$

ステップ 4.1.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\ln (8)) = \frac{1}{2}$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ で代入して $\ln (8)$ 求めた点は、 $(\ln (8), \frac{1}{2})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \ln (8))$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1.97944154$ で置換えます。

$f'' (1.97944154) = \frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

ステップ 6.2

最終的な答えは $\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$ です。

$\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

ステップ 6.3

$1.97944154$ で二次導関数は $0.01245842$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, \ln (8))$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, \ln (8))$ で増加

ステップ 7

区間 $(\ln (8), \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.17944154$ で置換えます。

$f'' (2.17944154) = \frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

ステップ 7.2

最終的な答えは $\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$ です。

$\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

ステップ 7.3

$2.17944154$ で二次導関数は $- 0.01245842$ です。これは負の値なので、 $(\ln (8), \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\ln (8), \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\ln (8), \frac{1}{2})$ です。

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例