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微分積分 例
ステップ 1
ステップ 1.1
一次導関数を求めます。
ステップ 1.1.1
総和則では、のに関する積分はです。
ステップ 1.1.2
の値を求めます。
ステップ 1.1.2.1
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.1.2.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.2.3
にをかけます。
ステップ 1.1.3
の値を求めます。
ステップ 1.1.3.1
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.1.3.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.3.3
にをかけます。
ステップ 1.1.4
の値を求めます。
ステップ 1.1.4.1
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.1.4.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.4.3
にをかけます。
ステップ 1.2
二次導関数を求めます。
ステップ 1.2.1
総和則では、のに関する積分はです。
ステップ 1.2.2
の値を求めます。
ステップ 1.2.2.1
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.2.2.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.2.2.3
にをかけます。
ステップ 1.2.3
の値を求めます。
ステップ 1.2.3.1
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.2.3.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.2.3.3
にをかけます。
ステップ 1.2.4
定数の規則を使って微分します。
ステップ 1.2.4.1
はについて定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.2.4.2
とをたし算します。
ステップ 1.3
に関するの二次導関数はです。
ステップ 2
ステップ 2.1
二次導関数をに等しくします。
ステップ 2.2
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 2.3
の各項をで割り、簡約します。
ステップ 2.3.1
の各項をで割ります。
ステップ 2.3.2
左辺を簡約します。
ステップ 2.3.2.1
の共通因数を約分します。
ステップ 2.3.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 2.3.2.1.2
をで割ります。
ステップ 2.3.3
右辺を簡約します。
ステップ 2.3.3.1
との共通因数を約分します。
ステップ 2.3.3.1.1
をで因数分解します。
ステップ 2.3.3.1.2
共通因数を約分します。
ステップ 2.3.3.1.2.1
をで因数分解します。
ステップ 2.3.3.1.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 2.3.3.1.2.3
式を書き換えます。
ステップ 2.3.3.2
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 3
ステップ 3.1
をに代入し、の値を求めます。
ステップ 3.1.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 3.1.2
結果を簡約します。
ステップ 3.1.2.1
各項を簡約します。
ステップ 3.1.2.1.1
べき乗則を利用して指数を分配します。
ステップ 3.1.2.1.1.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 3.1.2.1.1.2
積の法則をに当てはめます。
ステップ 3.1.2.1.2
を乗します。
ステップ 3.1.2.1.3
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 3.1.2.1.4
を乗します。
ステップ 3.1.2.1.5
の共通因数を約分します。
ステップ 3.1.2.1.5.1
の先頭の負を分子に移動させます。
ステップ 3.1.2.1.5.2
をで因数分解します。
ステップ 3.1.2.1.5.3
共通因数を約分します。
ステップ 3.1.2.1.5.4
式を書き換えます。
ステップ 3.1.2.1.6
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 3.1.2.1.7
べき乗則を利用して指数を分配します。
ステップ 3.1.2.1.7.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 3.1.2.1.7.2
積の法則をに当てはめます。
ステップ 3.1.2.1.8
を乗します。
ステップ 3.1.2.1.9
にをかけます。
ステップ 3.1.2.1.10
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 3.1.2.1.11
を乗します。
ステップ 3.1.2.1.12
とをまとめます。
ステップ 3.1.2.1.13
の共通因数を約分します。
ステップ 3.1.2.1.13.1
の先頭の負を分子に移動させます。
ステップ 3.1.2.1.13.2
をで因数分解します。
ステップ 3.1.2.1.13.3
共通因数を約分します。
ステップ 3.1.2.1.13.4
式を書き換えます。
ステップ 3.1.2.1.14
にをかけます。
ステップ 3.1.2.2
項を簡約します。
ステップ 3.1.2.2.1
公分母の分子をまとめます。
ステップ 3.1.2.2.2
とをたし算します。
ステップ 3.1.2.2.3
との共通因数を約分します。
ステップ 3.1.2.2.3.1
をで因数分解します。
ステップ 3.1.2.2.3.2
共通因数を約分します。
ステップ 3.1.2.2.3.2.1
をで因数分解します。
ステップ 3.1.2.2.3.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 3.1.2.2.3.2.3
式を書き換えます。
ステップ 3.1.2.3
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 3.1.2.4
とをまとめます。
ステップ 3.1.2.5
公分母の分子をまとめます。
ステップ 3.1.2.6
分子を簡約します。
ステップ 3.1.2.6.1
にをかけます。
ステップ 3.1.2.6.2
とをたし算します。
ステップ 3.1.2.7
最終的な答えはです。
ステップ 3.2
で代入して求めた点は、です。この点は変曲点となり得ます。
ステップ 4
変曲点となりうる点の周囲でを区間に分割します。
ステップ 5
ステップ 5.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 5.2
結果を簡約します。
ステップ 5.2.1
にをかけます。
ステップ 5.2.2
とをたし算します。
ステップ 5.2.3
最終的な答えはです。
ステップ 5.3
で二次導関数はです。これは負の値なので、の区間で減少します。
なのでで減少
なのでで減少
ステップ 6
ステップ 6.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 6.2
結果を簡約します。
ステップ 6.2.1
にをかけます。
ステップ 6.2.2
とをたし算します。
ステップ 6.2.3
最終的な答えはです。
ステップ 6.3
で二次導関数はです。これは正の値なので、の区間で増加します。
なのでで増加
なのでで増加
ステップ 7
変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点はです。
ステップ 8