微分積分例

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 1

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 2.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 2.1.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$3 x^{2} - 16 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 16 x - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.3.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

ステップ 2.2.4.2

$6 x - 16$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 16$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x - 16$ です。

$6 x - 16$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 16 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 16 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$6 x = 16$

ステップ 3.3

$6 x = 16$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$6 x = 16$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{16}{6}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$16$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (8)}{6}$

ステップ 3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{8}{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{8}{3}$ を $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{8}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

積の法則を $\frac{8}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

ステップ 4.1.2.1.2

$8$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

ステップ 4.1.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

ステップ 4.1.2.1.4

積の法則を $\frac{8}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{8^{2}}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

ステップ 4.1.2.1.5

$8$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{64}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

ステップ 4.1.2.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 (\frac{64}{9}) - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

ステップ 4.1.2.1.7

$- 8 (\frac{64}{9})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.7.1

$- 8$ と $\frac{64}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 8 \cdot 64}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

ステップ 4.1.2.1.7.2

$- 8$ に $64$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

ステップ 4.1.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

ステップ 4.1.2.1.9

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.9.1

$3$ を $- 12$ で因数分解します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 (- 4) (\frac{8}{3}) + 9$

ステップ 4.1.2.1.9.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 \cdot (- 4 (\frac{8}{3})) + 9$

ステップ 4.1.2.1.9.3

式を書き換えます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 4 \cdot 8 + 9$

ステップ 4.1.2.1.10

$- 4$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 32 + 9$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$\frac{512}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{512}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 32 + 9$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{512}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 32 + 9$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 32$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} + 9$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{- 32}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{27}{27} + 9$

ステップ 4.1.2.2.5

$\frac{- 32}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + 9$

ステップ 4.1.2.2.6

$9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1}$

ステップ 4.1.2.2.7

$\frac{9}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.8

$\frac{9}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.9

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.10

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{27} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 512 \cdot 3 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$- 512$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.4.2

$- 32$ に $27$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.4.3

$9$ に $27$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 243}{27}$

ステップ 4.1.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$512$ から $1536$ を引きます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1024 - 864 + 243}{27}$

ステップ 4.1.2.5.2

$- 1024$ から $864$ を引きます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1888 + 243}{27}$

ステップ 4.1.2.5.3

$- 1888$ と $243$ をたし算します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1645}{27}$

ステップ 4.1.2.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{1645}{27}$

ステップ 4.1.2.6

最終的な答えは $- \frac{1645}{27}$ です。

$- \frac{1645}{27}$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ で代入して $\frac{8}{3}$ 求めた点は、 $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{8}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2.5\overline{6}$ で置換えます。

$f'' (2.5\overline{6}) = 6 (2.5\overline{6}) - 16$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$6$ に $2.5\overline{6}$ をかけます。

$f'' (2.5\overline{6}) = 15.3\overline{9} - 16$

ステップ 6.2.2

$15.3\overline{9}$ から $16$ を引きます。

$f'' (2.5\overline{6}) = - 0.6$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.6$ です。

$- 0.6$

ステップ 6.3

$2.5\overline{6}$ で二次導関数は $- 0.6$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{8}{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{8}{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{8}{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.7\overline{6}$ で置換えます。

$f'' (2.7\overline{6}) = 6 (2.7\overline{6}) - 16$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$6$ に $2.7\overline{6}$ をかけます。

$f'' (2.7\overline{6}) = 16.5\overline{9} - 16$

ステップ 7.2.2

$16.5\overline{9}$ から $16$ を引きます。

$f'' (2.7\overline{6}) = 0.5\overline{9}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $0.5\overline{9}$ です。

$0.5\overline{9}$

ステップ 7.3

$2.7\overline{6}$ で二次導関数は $0.5\overline{9}$ です。これは正の値なので、 $(\frac{8}{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{8}{3}, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ です。

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例