微分積分例

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

ステップ 1

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{3}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{2}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 (2 x)$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 2.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x^{2}$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 2.2.3.3

$2$ に $- 24$ をかけます。

$12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [32 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 x$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} - 48 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 48 x + 32 \cdot 1$

ステップ 2.2.4.3

$32$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 32$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 48 x + 32$ です。

$12 x^{2} - 48 x + 32$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$

ステップ 3.2

$4$ を $12 x^{2} - 48 x + 32$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2}) - 48 x + 32 = 0$

ステップ 3.2.2

$4$ を $- 48 x$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 32 = 0$

ステップ 3.2.3

$4$ を $32$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 4 (8) = 0$

ステップ 3.2.4

$4$ を $4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x)$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8) = 0$

ステップ 3.2.5

$4$ を $4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8)$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$

ステップ 3.3

$4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$3 x^{2} - 12 x + 8$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 12 x + 8 = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$3 x^{2} - 12 x + 8 = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = 3$ 、 $b = - 12$ 、および $c = 8$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.2.2

$- 12$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.3

$144$ から $96$ を引きます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.4

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.4.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 3.6.3

$\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.2.2

$- 12$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.3

$144$ から $96$ を引きます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.4

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.4.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 3.7.3

$\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.2.2

$- 12$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.3

$144$ から $96$ を引きます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.4

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.4.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 3.8.3

$\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3.15470053$ を $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $3.15470053$ で置換えます。

$f (3.15470053) = {(3.15470053)}^{4} - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$3.15470053$ を $4$ 乗します。

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

$3.15470053$ を $3$ 乗します。

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 \cdot 31.39600717 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 8$ に $31.39600717$ をかけます。

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.4

$3.15470053$ を $2$ 乗します。

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 \cdot 9.95213548$

ステップ 4.1.2.1.5

$16$ に $9.95213548$ をかけます。

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 159.23416778$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$99.04500074$ から $251.16805742$ を引きます。

$f (3.15470053) = - 152.12305667 + 159.23416778$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 152.12305667$ と $159.23416778$ をたし算します。

$f (3.15470053) = 7.11111111$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $7.11111111$ です。

$7.11111111$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ で代入して $3.15470053$ 求めた点は、 $(3.15470053, 7.11111111)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(3.15470053, 7.11111111)$

ステップ 4.3

$0.84529946$ を $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $0.84529946$ で置換えます。

$f (0.84529946) = {(0.84529946)}^{4} - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$0.84529946$ を $4$ 乗します。

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2

$0.84529946$ を $3$ 乗します。

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 \cdot 0.60399282 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 8$ に $0.60399282$ をかけます。

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4

$0.84529946$ を $2$ 乗します。

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 \cdot 0.71453117$

ステップ 4.3.2.1.5

$16$ に $0.71453117$ をかけます。

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 11.43249887$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$0.5105548$ から $4.83194257$ を引きます。

$f (0.84529946) = - 4.32138776 + 11.43249887$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 4.32138776$ と $11.43249887$ をたし算します。

$f (0.84529946) = 7.\overline{1}$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $7.\overline{1}$ です。

$7.\overline{1}$

ステップ 4.4

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ で代入して $0.84529946$ 求めた点は、 $(0.84529946, 7.\overline{1})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0.84529946, 7.\overline{1})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(3.15470053, 7.11111111), (0.84529946, 7.\overline{1})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0.84529946) \cup (0.84529946, 3.15470053) \cup (3.15470053, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0.84529946)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.74529946$ で置換えます。

$f'' (0.74529946) = 12 {(0.74529946)}^{2} - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0.74529946$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.74529946) = 12 \cdot 0.55547128 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $0.55547128$ をかけます。

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

ステップ 6.2.1.3

$- 48$ に $0.74529946$ をかけます。

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 35.77437415 + 32$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$6.66565544$ から $35.77437415$ を引きます。

$f'' (0.74529946) = - 29.1087187 + 32$

ステップ 6.2.2.2

$- 29.1087187$ と $32$ をたし算します。

$f'' (0.74529946) = 2.89128129$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $2.89128129$ です。

$2.89128129$

ステップ 6.3

$0.74529946$ で二次導関数は $2.89128129$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0.84529946)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0.84529946)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0.84529946, 3.15470053)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 32$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 32$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $4$ をかけます。

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 32$

ステップ 7.2.1.3

$- 48$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = 48 - 96 + 32$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$48$ から $96$ を引きます。

$f'' (2) = - 48 + 32$

ステップ 7.2.2.2

$- 48$ と $32$ をたし算します。

$f'' (2) = - 16$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 16$ です。

$- 16$

ステップ 7.3

$2$ で二次導関数は $- 16$ です。これは負の値なので、 $(0.84529946, 3.15470053)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0.84529946, 3.15470053)$ で減少

ステップ 8

区間 $(3.15470053, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3.25470053$ で置換えます。

$f'' (3.25470053) = 12 {(3.25470053)}^{2} - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$3.25470053$ を $2$ 乗します。

$f'' (3.25470053) = 12 \cdot 10.59307559 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

ステップ 8.2.1.2

$12$ に $10.59307559$ をかけます。

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

ステップ 8.2.1.3

$- 48$ に $3.25470053$ をかけます。

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 156.22562584 + 32$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$127.11690713$ から $156.22562584$ を引きます。

$f'' (3.25470053) = - 29.1087187 + 32$

ステップ 8.2.2.2

$- 29.1087187$ と $32$ をたし算します。

$f'' (3.25470053) = 2.89128129$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $2.89128129$ です。

$2.89128129$

ステップ 8.3

$3.25470053$ で二次導関数は $2.89128129$ です。これは正の値なので、 $(3.15470053, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(3.15470053, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$ です。

$(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例