微分積分例

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x {(x - 3)}^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 3)}^{3}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 3)}^{3})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4

微分します。

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ステップ 1.1.4.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 1.1.4.6

${(x - 3)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3})$

ステップ 1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

ステップ 1.1.5.2

$3$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 9 (x ({(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

ステップ 1.1.5.3

$3 {(x - 3)}^{2}$ を $9 x {(x - 3)}^{2} + 3 {(x - 3)}^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.1

$3 {(x - 3)}^{2}$ を $9 x {(x - 3)}^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{3}$

ステップ 1.1.5.3.2

$3 {(x - 3)}^{2}$ を $3 {(x - 3)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$

ステップ 1.1.5.3.3

$3 {(x - 3)}^{2}$ を $3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x + x - 3)$

ステップ 1.1.5.4

$3 x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.5

${(x - 3)}^{2}$ を $(x - 3) (x - 3)$ に書き換えます。

$f' (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.6.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.7.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.7.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.7.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.8

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.9.1

$- 6$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.9.2

$3$ に $9$ をかけます。

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$

ステップ 1.1.5.10

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$ を展開します。

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.11.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.11.2.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.1.5.11.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.4

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x \cdot x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.11.6.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 (x \cdot x)) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x^{2}) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.7

$- 18$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.8

$- 3$ に $- 18$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.9

$4$ に $27$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x + 27 \cdot - 3$

ステップ 1.1.5.11.10

$27$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

ステップ 1.1.5.12

$- 9 x^{2}$ から $72 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

ステップ 1.1.5.13

$54 x$ と $108 x$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [162 x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 81$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 81 x^{2}$ の微分係数は $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $- 81$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [162 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$162$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $162 x$ の微分係数は $162 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

ステップ 1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 81)$

ステップ 1.2.4.3

$162$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + \frac{d}{d x} (- 81)$

ステップ 1.2.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.2.5.1

$- 81$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 81$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + 0$

ステップ 1.2.5.2

$36 x^{2} - 162 x + 162$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $36 x^{2} - 162 x + 162$ です。

$36 x^{2} - 162 x + 162$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$18$ を $36 x^{2} - 162 x + 162$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$18$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2}) - 162 x + 162 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$18$ を $- 162 x$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 162 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$18$ を $162$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 18 (9) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$18$ を $18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x)$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$18$ を $18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9)$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ で和が $b = - 9$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

$- 9$ を $- 9 x$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$- 9$ を $- 3$ プラス $- 6$ に書き換える

$18 (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$18 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$18 ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$18 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

最大公約数 $2 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$18 ((2 x - 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 2.4.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.6

最終解は $18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3}{2}, 3$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{3}{2}$ を $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{3}{2}) {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$3 (\frac{3}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

ステップ 3.1.2.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

ステップ 3.1.2.2

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.3

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.5.2

$3$ から $6$ を引きます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

ステップ 3.1.2.7.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}))$

ステップ 3.1.2.8

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

ステップ 3.1.2.9

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{2^{3}})$

ステップ 3.1.2.10

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{8})$

ステップ 3.1.2.11

$\frac{9}{2} (- \frac{27}{8})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.11.1

$\frac{9}{2}$ に $\frac{27}{8}$ をかけます。

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

ステップ 3.1.2.11.2

$9$ に $27$ をかけます。

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{2 \cdot 8}$

ステップ 3.1.2.11.3

$2$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{16}$

ステップ 3.1.2.12

最終的な答えは $- \frac{243}{16}$ です。

$- \frac{243}{16}$

ステップ 3.2

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ で代入して $\frac{3}{2}$ 求めた点は、 $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$

ステップ 3.3

$3$ を $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = 3 (3) {((3) - 3)}^{3}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$3$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 9 {((3) - 3)}^{3}$

ステップ 3.3.2.2

$3$ から $3$ を引きます。

$f (3) = 9 \cdot 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (3) = 9 \cdot 0$

ステップ 3.3.2.4

$9$ に $0$ をかけます。

$f (3) = 0$

ステップ 3.3.2.5

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ で代入して $3$ 求めた点は、 $(3, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(3, 0)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{3}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1.4$ で置換えます。

$f'' (1.4) = 36 {(1.4)}^{2} - 162 \cdot 1.4 + 162$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$1.4$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.4) = 36 \cdot 1.96 - 162 \cdot 1.4 + 162$

ステップ 5.2.1.2

$36$ に $1.96$ をかけます。

$f'' (1.4) = 70.56 - 162 \cdot 1.4 + 162$

ステップ 5.2.1.3

$- 162$ に $1.4$ をかけます。

$f'' (1.4) = 70.56 - 226.8 + 162$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$70.56$ から $226.8$ を引きます。

$f'' (1.4) = - 156.24 + 162$

ステップ 5.2.2.2

$- 156.24$ と $162$ をたし算します。

$f'' (1.4) = 5.76$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $5.76$ です。

$5.76$

ステップ 5.3

$1.4$ で二次導関数は $5.76$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, \frac{3}{2})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, \frac{3}{2})$ で増加

ステップ 6

区間 $(\frac{3}{2}, 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2.25$ で置換えます。

$f'' (2.25) = 36 {(2.25)}^{2} - 162 \cdot 2.25 + 162$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2.25$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.25) = 36 \cdot 5.0625 - 162 \cdot 2.25 + 162$

ステップ 6.2.1.2

$36$ に $5.0625$ をかけます。

$f'' (2.25) = 182.25 - 162 \cdot 2.25 + 162$

ステップ 6.2.1.3

$- 162$ に $2.25$ をかけます。

$f'' (2.25) = 182.25 - 364.5 + 162$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$182.25$ から $364.5$ を引きます。

$f'' (2.25) = - 182.25 + 162$

ステップ 6.2.2.2

$- 182.25$ と $162$ をたし算します。

$f'' (2.25) = - 20.25$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 20.25$ です。

$- 20.25$

ステップ 6.3

$2.25$ で二次導関数は $- 20.25$ です。これは負の値なので、 $(\frac{3}{2}, 3)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\frac{3}{2}, 3)$ で減少

ステップ 7

区間 $(3, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3.1$ で置換えます。

$f'' (3.1) = 36 {(3.1)}^{2} - 162 \cdot 3.1 + 162$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$3.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (3.1) = 36 \cdot 9.61 - 162 \cdot 3.1 + 162$

ステップ 7.2.1.2

$36$ に $9.61$ をかけます。

$f'' (3.1) = 345.96 - 162 \cdot 3.1 + 162$

ステップ 7.2.1.3

$- 162$ に $3.1$ をかけます。

$f'' (3.1) = 345.96 - 502.2 + 162$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$345.96$ から $502.2$ を引きます。

$f'' (3.1) = - 156.24 + 162$

ステップ 7.2.2.2

$- 156.24$ と $162$ をたし算します。

$f'' (3.1) = 5.76$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $5.76$ です。

$5.76$

ステップ 7.3

$3.1$ で二次導関数は $5.76$ です。これは正の値なので、 $(3, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(3, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例