微分積分例

$x - 2 \sin (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x - 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = 1 - 2 \cos (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1 - 2 \cos (x)$ です。

$1 - 2 \cos (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 - 2 \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1 - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \cos (x) = - 1$

ステップ 2.3

$- 2 \cos (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 2 \cos (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 2.5

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 2.6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 2.7

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 2.7.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 2.7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 2.7.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 2.7.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 2.8

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.9

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x - 2 \sin (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{π}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{π}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{3} - 1 \sqrt{3}$

ステップ 4.1.2.3

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$\frac{π}{3} - \sqrt{3}$

ステップ 4.2

$x = \frac{7 π}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{7 π}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{7 π}{3}) - 2 \sin (\frac{7 π}{3})$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{7 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{7 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{7 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{7 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{7 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

ステップ 4.2.2.4

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$\frac{7 π}{3} - \sqrt{3}$

ステップ 4.3

$x = \frac{13 π}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{13 π}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{13 π}{3}) - 2 \sin (\frac{13 π}{3})$

ステップ 4.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{13 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 4.3.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{13 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{13 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{13 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{13 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

ステップ 4.3.2.4

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$\frac{13 π}{3} - \sqrt{3}$

ステップ 4.4

$x = \frac{19 π}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\frac{19 π}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{19 π}{3}) - 2 \sin (\frac{19 π}{3})$

ステップ 4.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{19 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 4.4.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{19 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{19 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{19 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{19 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

ステップ 4.4.2.4

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$\frac{19 π}{3} - \sqrt{3}$

ステップ 4.5

$x = \frac{25 π}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$\frac{25 π}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{25 π}{3}) - 2 \sin (\frac{25 π}{3})$

ステップ 4.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{25 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 4.5.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{25 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{25 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{25 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{25 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

ステップ 4.5.2.4

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$\frac{25 π}{3} - \sqrt{3}$

ステップ 4.6

$x = \frac{5 π}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$\frac{5 π}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{5 π}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

ステップ 4.6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{5 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

ステップ 4.6.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{5 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.6.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{5 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.6.2.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{5 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.6.2.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{5 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.6.2.3.4

式を書き換えます。

$\frac{5 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

ステップ 4.6.2.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

ステップ 4.6.2.5

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 4.7

$x = \frac{11 π}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$\frac{11 π}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{11 π}{3}) - 2 \sin (\frac{11 π}{3})$

ステップ 4.7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{11 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

ステップ 4.7.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{11 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

ステップ 4.7.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{11 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.7.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{11 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.7.2.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{11 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.7.2.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{11 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.7.2.4.4

式を書き換えます。

$\frac{11 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

ステップ 4.7.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{11 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

ステップ 4.7.2.6

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{11 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 4.8

$x = \frac{17 π}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$\frac{17 π}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{17 π}{3}) - 2 \sin (\frac{17 π}{3})$

ステップ 4.8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{17 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

ステップ 4.8.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{17 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

ステップ 4.8.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{17 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.8.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{17 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.8.2.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{17 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.8.2.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{17 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.8.2.4.4

式を書き換えます。

$\frac{17 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

ステップ 4.8.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{17 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

ステップ 4.8.2.6

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{17 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 4.9

$x = \frac{23 π}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$\frac{23 π}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{23 π}{3}) - 2 \sin (\frac{23 π}{3})$

ステップ 4.9.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{23 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

ステップ 4.9.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{23 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

ステップ 4.9.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{23 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.9.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{23 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.9.2.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{23 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.9.2.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{23 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.9.2.4.4

式を書き換えます。

$\frac{23 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

ステップ 4.9.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{23 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

ステップ 4.9.2.6

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{23 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 4.10

$x = \frac{29 π}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

$\frac{29 π}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{29 π}{3}) - 2 \sin (\frac{29 π}{3})$

ステップ 4.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{29 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

ステップ 4.10.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{29 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

ステップ 4.10.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{29 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.10.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{29 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.10.2.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{29 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.10.2.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{29 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.10.2.4.4

式を書き換えます。

$\frac{29 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

ステップ 4.10.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{29 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

ステップ 4.10.2.6

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{29 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 4.11

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{7 π}{3}, \frac{7 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{13 π}{3}, \frac{13 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{19 π}{3}, \frac{19 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{25 π}{3}, \frac{25 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{11 π}{3}, \frac{11 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{17 π}{3}, \frac{17 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{23 π}{3}, \frac{23 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{29 π}{3}, \frac{29 π}{3} + \sqrt{3})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例