微分積分例

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3 x^{2} - 4 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 4 x - 4$ です。

$3 x^{2} - 4 x - 4$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

ステップ 2.2

群による因数分解。

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ステップ 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 4$ を $2$ プラス $- 6$ に書き換える

$3 x^{2} + (2 - 6) x - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 2 x - 6 x - 4 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} + 2 x) - 6 x - 4 = 0$

ステップ 2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2) = 0$

ステップ 2.2.3

最大公約数 $3 x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 2.4.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $(3 x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{2}{3}, 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - \frac{2}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{2}{3}$ を $x$ に代入します。

${(- \frac{2}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.1.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{2^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{8}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{8}{27} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.2.1.5.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$- \frac{8}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.5.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$- \frac{8}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.6

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{8}{27} - 2 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.7

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{8}{27} - 2 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.8

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{8}{27} - 2 \frac{4}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.9

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{8}{27} - 2 (\frac{4}{9}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.10

$- 2 (\frac{4}{9})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.10.1

$- 2$ と $\frac{4}{9}$ をまとめます。

$- \frac{8}{27} + \frac{- 2 \cdot 4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.10.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- \frac{8}{27} + \frac{- 8}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.12

$- 4 (- \frac{2}{3})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.12.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + 4 (\frac{2}{3}) + 1$

ステップ 4.1.2.1.12.2

$4$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{4 \cdot 2}{3} + 1$

ステップ 4.1.2.1.12.3

$4$ に $2$ をかけます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} + 1$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$\frac{8}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{27} - (\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{8}{3} + 1$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{8}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} + 1$

ステップ 4.1.2.2.3

$\frac{8}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{9} + 1$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{8}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 1$

ステップ 4.1.2.2.5

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1}$

ステップ 4.1.2.2.6

$\frac{1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.7

$\frac{1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.8

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.9

$3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.10

$3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{27} + \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 8 - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 9 + 27}{27}$

ステップ 4.1.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 8 - 24 + 8 \cdot 9 + 27}{27}$

ステップ 4.1.2.4.2

$8$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 8 - 24 + 72 + 27}{27}$

ステップ 4.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1

$- 8$ から $24$ を引きます。

$\frac{- 32 + 72 + 27}{27}$

ステップ 4.1.2.5.2

$- 32$ と $72$ をたし算します。

$\frac{40 + 27}{27}$

ステップ 4.1.2.5.3

$40$ と $27$ をたし算します。

$\frac{67}{27}$

ステップ 4.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1$

ステップ 4.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 1$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 2$ に $4$ をかけます。

$8 - 8 - 4 \cdot 2 + 1$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$8 - 8 - 8 + 1$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$8$ から $8$ を引きます。

$0 - 8 + 1$

ステップ 4.2.2.2.2

$0$ から $8$ を引きます。

$- 8 + 1$

ステップ 4.2.2.2.3

$- 8$ と $1$ をたし算します。

$- 7$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{2}{3}, \frac{67}{27}), (2, - 7)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例