微分積分例

$\sin (x) - \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $\sin (x) - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\cos (x) - - \sin (x)$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

ステップ 1.1.3.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\cos (x) + \sin (x)$ です。

$\cos (x) + \sin (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\cos (x) + \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5

分数を分解します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 2.6

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 2.7

$0$ を $1$ で割ります。

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 2.8

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 + \tan (x) = 0$

ステップ 2.9

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 2.10

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 2.11

右辺を簡約します。

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ステップ 2.11.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 2.12

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 2.13

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 2.13.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 2.13.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.14

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.14.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.14.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.14.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.14.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.15

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 2.15.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 2.15.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.15.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.15.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.15.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 2.15.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.15.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 2.15.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 2.15.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.16

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sin (x) - \cos (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{3 π}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{3 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.1.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.1.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.5

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.5.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.2

項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.2.2

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.2.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{2}$

ステップ 4.2

$x = \frac{7 π}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{7 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$\sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{4})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{4})$

ステップ 4.2.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

ステップ 4.2.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.2.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2.2.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2.2.2.2

$- \sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2.2.2.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.3.1

$2$ を $- 2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

ステップ 4.2.2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 4.2.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

ステップ 4.2.2.2.3.2.4

$- \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$- \sqrt{2}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, \sqrt{2}), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, - \sqrt{2})$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

微分積分 例

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