微分積分例

$y = 4 x^{3} - 48 x - 5$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - 48 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3.3

$- 48$ に $1$ をかけます。

$12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{2} - 48 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$12 x^{2} - 48$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 48$ です。

$12 x^{2} - 48$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 48 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $48$ を足します。

$12 x^{2} = 48$

ステップ 2.3

$12 x^{2} = 48$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$12 x^{2} = 48$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{48}{12}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$48$ を $12$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 x^{3} - 48 x - 5$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$4 {(2)}^{3} - 48 \cdot 2 - 5$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot 8 - 48 \cdot 2 - 5$

ステップ 4.1.2.1.2

$4$ に $8$ をかけます。

$32 - 48 \cdot 2 - 5$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 48$ に $2$ をかけます。

$32 - 96 - 5$

ステップ 4.1.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$32$ から $96$ を引きます。

$- 64 - 5$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 64$ から $5$ を引きます。

$- 69$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$4 {(- 2)}^{3} - 48 \cdot - 2 - 5$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot - 8 - 48 \cdot - 2 - 5$

ステップ 4.2.2.1.2

$4$ に $- 8$ をかけます。

$- 32 - 48 \cdot - 2 - 5$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 48$ に $- 2$ をかけます。

$- 32 + 96 - 5$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 32$ と $96$ をたし算します。

$64 - 5$

ステップ 4.2.2.2.2

$64$ から $5$ を引きます。

$59$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, - 69), (- 2, 59)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例