微分積分例

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 12 x + 9$ です。

$3 x^{2} + 12 x + 9$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $3 x^{2} + 12 x + 9$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 12 x + 9 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$3$ を $12 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (4 x) + 9 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$3$ を $9$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (4 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot 3$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 4 x + 3) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x + 3$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x + 1) (x + 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x + 1) (x + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

最終解は $3 (x + 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - 3$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- 1, - 3$ です。

$- 1, - 3$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) + 9$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 + 12 (- 4) + 9$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = 48 + 12 (- 4) + 9$

ステップ 5.2.1.3

$12$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = 48 - 48 + 9$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$48$ から $48$ を引きます。

$f' (- 4) = 0 + 9$

ステップ 5.2.2.2

$0$ と $9$ をたし算します。

$f' (- 4) = 9$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $9$ です。

$9$

ステップ 5.3

$x = - 4$ で微分係数は $9$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 3)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 3, - 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) + 9$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 + 12 (- 2) + 9$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = 12 + 12 (- 2) + 9$

ステップ 6.2.1.3

$12$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = 12 - 24 + 9$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$12$ から $24$ を引きます。

$f' (- 2) = - 12 + 9$

ステップ 6.2.2.2

$- 12$ と $9$ をたし算します。

$f' (- 2) = - 3$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 6.3

$x = - 2$ で微分係数は $- 3$ です。これは負の値なので、関数は $(- 3, - 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 3, - 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} + 12 (0) + 9$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 3 \cdot 0 + 12 (0) + 9$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 12 (0) + 9$

ステップ 7.2.1.3

$12$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

ステップ 7.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 + 9$

ステップ 7.2.2.2

$0$ と $9$ をたし算します。

$f' (0) = 9$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $9$ です。

$9$

ステップ 7.3

$x = 0$ で微分係数は $9$ です。これは正の値なので、関数は $(- 1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 1, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$ で増加

$(- 3, - 1)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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