微分積分例

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 2 + 0$

ステップ 1.1.3.2

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x - 2$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x - 2$ です。

$2 x - 2$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - 2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$2 x = 2$

ステップ 2.3

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $1$ です。

$1$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = 2 x - 2$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 2 (0) - 2$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 2$

ステップ 5.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$f' (0) = - 2$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 5.3

$x = 0$ で微分係数は $- 2$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 1)$ で減少

ステップ 6

区間 $(1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 2 (2) - 2$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = 4 - 2$

ステップ 6.2.2

$4$ から $2$ を引きます。

$f' (2) = 2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6.3

$x = 2$ で微分係数は $2$ です。これは正の値なので、関数は $(1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(1, \infty)$ で増加

$(- \infty, 1)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例