微分積分例

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.2.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.2.4.2

$x^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.2.5

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 1.1.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 1.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 1.1.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 1.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.10.2.1

$x$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{2}{3}}$ を分子に移動させます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.2.3.1

$x$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.2.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.3.4

$3$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.6

$x^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.7

$x^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.9

$3$ を $x^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.10.2.10

$3 x^{\frac{1}{3}}$ と $x^{\frac{1}{3}}$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

ステップ 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}$ .

ステップ 2.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.2.4

$3$ には、 $1$ と $3$ 以外に因数がないため。

$3$ は素数です

ステップ 2.2.5

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.2.6

$3, 3, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$3$

ステップ 2.2.7

$x^{\frac{2}{3}}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.2.8

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ の最小公倍数は数値部分 $3$ に変数部分を掛けたものです。

$3 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.3

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ の各項に $3 x^{\frac{2}{3}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ の各項に $3 x^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2.1.3

指数を足して $x^{\frac{1}{3}}$ に $x^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1

$x^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2.1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2.1.3.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2.1.3.5

$3$ を $3$ で割ります。

$4 x^{1} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2.1.4

$4 x^{1}$ を簡約します。

$4 x - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2.1.5

$3 x^{\frac{2}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.5.1

$- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.2.1.5.3

式を書き換えます。

$4 x - 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$4 x - 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.3.3.1.2

$0$ に $x^{\frac{2}{3}}$ をかけます。

$4 x - 4 = 0$

ステップ 2.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$4 x = 4$

ステップ 2.4.2

$4 x = 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$4 x = 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 2.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{4}$

ステップ 2.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

$4$ を $4$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $1$ です。

$1$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 4.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.1.2

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 4.1.3

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 4.2

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1.1

積の法則を $3 x^{\frac{2}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 x^{2} = 0^{3}$

ステップ 4.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x^{2} = 0$

ステップ 4.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$27 x^{2} = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

$27 x^{2} = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 4.3.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 4.3.3.1.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{0}{27}$

ステップ 4.3.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.3.3.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.3.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.3.3.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f' (- 1) = \frac{4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.2.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.2.1.1.4

指数を求めます。

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.2.1.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 6.2.1.4.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.3.1

共通因数を約分します。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 6.2.1.4.3.2

式を書き換えます。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.4.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 \cdot 1}$

ステップ 6.2.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 6.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 1) = \frac{- 4 - 4}{3}$

ステップ 6.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$- 4$ から $4$ を引きます。

$f' (- 1) = \frac{- 8}{3}$

ステップ 6.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 1) = - \frac{8}{3}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{8}{3}$ です。

$- \frac{8}{3}$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $- \frac{8}{3}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ を $2^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.3

$2$ を $1$ 乗します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {({(2)}^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.6

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.8

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.9

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.10

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.11.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{6 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.11.2

$6$ から $1$ を引きます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.2.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

ステップ 7.2.1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}})}$

ステップ 7.2.1.3

$3$ と $\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{\frac{3}{2^{\frac{2}{3}}}}$

ステップ 7.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - (4 (\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}))$

ステップ 7.2.1.5

$4 \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.5.1

$4$ と $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 7.2.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 7.2.1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 + \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 7.2.1.5.4

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 7.2.1.5.5

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 7.2.1.5.6

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}{3}$

ステップ 7.2.1.5.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.5.7.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{6 + 2}{3}}}{3}$

ステップ 7.2.1.5.7.2

$6$ と $2$ をたし算します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{3}$

ステップ 7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ です。

$\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

ステップ 7.3

$x = \frac{1}{2}$ で微分係数は $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 1)$ で減少

ステップ 8

区間 $(1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 8.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 8.2.1.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 8.2.1.4

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 8.2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 8.2.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.6.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 8.2.1.6.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 8.2.2

最終的な答えは $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 8.3

簡約します。

$0.83994736$

ステップ 8.4

$x = 2$ で微分係数は $0.83994736$ です。これは正の値なので、関数は $(1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(1, \infty)$ で増加

$(- \infty, 0), (0, 1)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例