微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.1.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

ステップ 1.1.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{- 3}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.1.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.3.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x^{3}}$

ステップ 1.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{2}{x^{3}}$ です。

$- \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2}{x^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{2}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1) = - \frac{2}{- 1}$

ステップ 6.2.2

$2$ を $- 1$ で割ります。

$f' (- 1) = 2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $2$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = - \frac{2}{1}$

ステップ 7.2.2

$2$ を $1$ で割ります。

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

ステップ 7.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (1) = - 2$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 7.3

$x = 1$ で微分係数は $- 2$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0)$ で増加

$(0, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例