微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - \frac{1}{2} (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x$

ステップ 1.1.3.4

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{- 2}{2} x$

ステップ 1.1.3.5

$\frac{- 2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{- 2 x}{2}$

ステップ 1.1.3.6

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.6.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

ステップ 1.1.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

ステップ 1.1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} + \frac{- x}{1}$

ステップ 1.1.3.6.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{2} - x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} - x$ です。

$x^{2} - x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} - x = 0$

ステップ 2.2

$x$ を $x^{2} - x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - x = 0$

ステップ 2.2.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$x (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

最終解は $x (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 1$ です。

$0, 1$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = 1 - (- 1)$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = 1 + 1$

ステップ 5.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 1) = 2$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $2$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

ステップ 6.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

ステップ 6.2.5

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

ステップ 6.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

ステップ 6.2.7

最終的な答えは $- \frac{1}{4}$ です。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 6.3

$x = \frac{1}{2}$ で微分係数は $- \frac{1}{4}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = {(2)}^{2} - (2)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = 4 - (2)$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = 4 - 2$

ステップ 7.2.2

$4$ から $2$ を引きます。

$f' (2) = 2$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 7.3

$x = 2$ で微分係数は $2$ です。これは正の値なので、関数は $(1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0), (1, \infty)$ で増加

$(0, 1)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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