微分積分例

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 6 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 (2 x)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 12 x$ です。

$4 x^{3} - 12 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 12 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 12 x = 0$

ステップ 2.2

$4 x$ を $4 x^{3} - 12 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 12 x = 0$

ステップ 2.2.2

$4 x$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3) = 0$

ステップ 2.2.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 2.6

最終解は $4 x (x^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ です。

$0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \sqrt{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2.7320508$ で置換えます。

$f' (- 2.7320508) = 4 {(- 2.7320508)}^{3} - 12 \cdot - 2.7320508$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 2.7320508$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2.7320508) = 4 \cdot - 20.39230467 - 12 \cdot - 2.7320508$

ステップ 5.2.1.2

$4$ に $- 20.39230467$ をかけます。

$f' (- 2.7320508) = - 81.5692187 - 12 \cdot - 2.7320508$

ステップ 5.2.1.3

$- 12$ に $- 2.7320508$ をかけます。

$f' (- 2.7320508) = - 81.5692187 + 32.7846096$

ステップ 5.2.2

$- 81.5692187$ と $32.7846096$ をたし算します。

$f' (- 2.7320508) = - 48.7846091$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 48.7846091$ です。

$- 48.7846091$

ステップ 5.3

$x = - 2.7320508$ で微分係数は $- 48.7846091$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - \sqrt{3})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \sqrt{3})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 1.7320508, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.8660254$ で置換えます。

$f' (- 0.8660254) = 4 {(- 0.8660254)}^{3} - 12 \cdot - 0.8660254$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 0.8660254$ を $3$ 乗します。

$f' (- 0.8660254) = 4 \cdot - 0.64951904 - 12 \cdot - 0.8660254$

ステップ 6.2.1.2

$4$ に $- 0.64951904$ をかけます。

$f' (- 0.8660254) = - 2.59807617 - 12 \cdot - 0.8660254$

ステップ 6.2.1.3

$- 12$ に $- 0.8660254$ をかけます。

$f' (- 0.8660254) = - 2.59807617 + 10.3923048$

ステップ 6.2.2

$- 2.59807617$ と $10.3923048$ をたし算します。

$f' (- 0.8660254) = 7.79422862$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $7.79422862$ です。

$7.79422862$

ステップ 6.3

$x = - 0.8660254$ で微分係数は $7.79422862$ です。これは正の値なので、関数は $(- 1.7320508, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \sqrt{3}, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \sqrt{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.8660254$ で置換えます。

$f' (0.8660254) = 4 {(0.8660254)}^{3} - 12 \cdot 0.8660254$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$0.8660254$ を $3$ 乗します。

$f' (0.8660254) = 4 \cdot 0.64951904 - 12 \cdot 0.8660254$

ステップ 7.2.1.2

$4$ に $0.64951904$ をかけます。

$f' (0.8660254) = 2.59807617 - 12 \cdot 0.8660254$

ステップ 7.2.1.3

$- 12$ に $0.8660254$ をかけます。

$f' (0.8660254) = 2.59807617 - 10.3923048$

ステップ 7.2.2

$2.59807617$ から $10.3923048$ を引きます。

$f' (0.8660254) = - 7.79422862$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 7.79422862$ です。

$- 7.79422862$

ステップ 7.3

$x = 0.8660254$ で微分係数は $- 7.79422862$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \sqrt{3})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \sqrt{3})$ で減少

ステップ 8

区間 $(\sqrt{3}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2.7320508$ で置換えます。

$f' (2.7320508) = 4 {(2.7320508)}^{3} - 12 \cdot 2.7320508$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$2.7320508$ を $3$ 乗します。

$f' (2.7320508) = 4 \cdot 20.39230467 - 12 \cdot 2.7320508$

ステップ 8.2.1.2

$4$ に $20.39230467$ をかけます。

$f' (2.7320508) = 81.5692187 - 12 \cdot 2.7320508$

ステップ 8.2.1.3

$- 12$ に $2.7320508$ をかけます。

$f' (2.7320508) = 81.5692187 - 32.7846096$

ステップ 8.2.2

$81.5692187$ から $32.7846096$ を引きます。

$f' (2.7320508) = 48.7846091$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $48.7846091$ です。

$48.7846091$

ステップ 8.3

$x = 2.7320508$ で微分係数は $48.7846091$ です。これは正の値なので、関数は $(\sqrt{3}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\sqrt{3}, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, \infty)$ で増加

$(- \infty, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例