微分積分例

$y = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

ステップ 2

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sqrt{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\sqrt{3} x$ の微分係数は $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2.3

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\sqrt{3} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\sqrt{3} + 2 (- \sin (x))$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{3} - 2 \sin (x)$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$- 2 \sin (x) + \sqrt{3}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺から $\sqrt{3}$ を引きます。

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 3.2

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 3.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 3.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{3}$

ステップ 3.6

$π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 3.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 3.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 3.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 3.6.3.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$x = \frac{π}{3}$ における元の関数 $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{π}{3}) + 2 \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$\sqrt{3}$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.2.1.2

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

ステップ 4.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

ステップ 4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

ステップ 4.2.2

最終的な答えは $\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$ です。

$\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

ステップ 5

$x = \frac{2 π}{3}$ における元の関数 $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $\frac{2 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{2 π}{3}) + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$\sqrt{3}$ と $\frac{2 π}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3} (2 π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

ステップ 5.2.1.2

$2$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

ステップ 5.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \cos (\frac{π}{3}))$

ステップ 5.2.1.4

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \frac{1}{2})$

ステップ 5.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 5.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 5.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ です。

$\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

ステップ 6

関数 $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ の水平接線は $y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ です。

$y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例