微分積分例

$y = x^{2} + 3 x$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = x^{2} + 3 x$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 3 \cdot 1$

ステップ 2.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$2 x + 3$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x = - 3$

ステップ 3.2

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{2}$

ステップ 4

$x = - \frac{3}{2}$ における元の関数 $f (x) = x^{2} + 3 x$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

ステップ 4.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

ステップ 4.2.1.3

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

ステップ 4.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

ステップ 4.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2})$

ステップ 4.2.1.6

$3 (- \frac{3}{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

ステップ 4.2.1.6.2

$- 3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

ステップ 4.2.1.6.3

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

ステップ 4.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

ステップ 4.2.2

$- \frac{9}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 4.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.2.3.1

$\frac{9}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

ステップ 4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

ステップ 4.2.5.2

$9$ から $18$ を引きます。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{4}$

ステップ 4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4}$

ステップ 4.2.7

最終的な答えは $- \frac{9}{4}$ です。

$- \frac{9}{4}$

ステップ 5

関数 $f (x) = x^{2} + 3 x$ の水平接線は $y = - \frac{9}{4}$ です。

$y = - \frac{9}{4}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例