微分積分例

$y = x + \sin (x)$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = x + \sin (x)$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$1 + \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 + \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 3.4

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 3.5

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 3.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$x = π$ における元の関数 $f (x) = x + \sin (x)$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $π$ で置換えます。

$f (π) = (π) + \sin (π)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (π) = π + \sin (0)$

ステップ 4.2.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (π) = π + 0$

ステップ 4.2.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$f (π) = π$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $π$ です。

$π$

ステップ 5

$x = π + 2 π$ における元の関数 $f (x) = x + \sin (x)$ を解きます。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $π + 2 π$ で置換えます。

$f (π + 2 π) = (π + 2 π) + \sin (π + 2 π)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$π$ と $2 π$ をたし算します。

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (3 π)$

ステップ 5.2.1.2

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (π)$

ステップ 5.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (0)$

ステップ 5.2.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (π + 2 π) = π + 2 π + 0$

ステップ 5.2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$π$ と $2 π$ をたし算します。

$f (π + 2 π) = 3 π + 0$

ステップ 5.2.2.2

$3 π$ と $0$ をたし算します。

$f (π + 2 π) = 3 π$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $3 π$ です。

$3 π$

ステップ 6

関数 $f (x) = x + \sin (x)$ の水平接線は $y = π, y = 3 π$ です。

$y = π, y = 3 π$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例