微分積分例

$y = x \sqrt{x}$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = x \sqrt{x}$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

ステップ 2.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 2.3

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

ステップ 2.7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.8

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

分子を0に等しくします。

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.2.1

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 3.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 3.2.1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

ステップ 3.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.2.3

指数を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.2.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{2}$

ステップ 3.2.3.1.1.2

簡約します。

$x = 0^{2}$

ステップ 3.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 4

$x = 0$ における元の関数 $f (x) = x \sqrt{x}$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = 0 \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = 0 \cdot 0$

ステップ 4.2.4

$0$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0$

ステップ 4.2.5

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 5

関数 $f (x) = x \sqrt{x}$ の水平接線は $y = 0$ です。

$y = 0$

ステップ 6

微分積分 例

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