微分積分例

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 4 (2 x)$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$3 x^{2} - 8 x$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 8 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

$x$ を $3 x^{2} - 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$x (3 x) - 8 x = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

ステップ 2.1.3

$x$ を $x (3 x) + x \cdot - 8$ で因数分解します。

$x (3 x - 8) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

$3 x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$3 x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 8 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $3 x - 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$3 x = 8$

ステップ 2.4.2.2

$3 x = 8$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$3 x = 8$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{8}{3}$

ステップ 2.5

最終解は $x (3 x - 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{8}{3}$

ステップ 3

$x = 0$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

ステップ 3.2.1.3

$- 4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 3.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4

$x = \frac{8}{3}$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{8}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

積の法則を $\frac{8}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

ステップ 4.2.1.2

$8$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

ステップ 4.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

ステップ 4.2.1.4

積の法則を $\frac{8}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}}$

ステップ 4.2.1.5

$8$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}}$

ステップ 4.2.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9})$

ステップ 4.2.1.7

$- 4 (\frac{64}{9})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.7.1

$- 4$ と $\frac{64}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9}$

ステップ 4.2.1.7.2

$- 4$ に $64$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9}$

ステップ 4.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9}$

ステップ 4.2.2

$- \frac{256}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.2.3.1

$\frac{256}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

ステップ 4.2.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27}$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3}{27}$

ステップ 4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$- 256$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768}{27}$

ステップ 4.2.5.2

$512$ から $768$ を引きます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256}{27}$

ステップ 4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{256}{27}$

ステップ 4.2.7

最終的な答えは $- \frac{256}{27}$ です。

$- \frac{256}{27}$

ステップ 5

関数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ の水平接線は $y = 0, y = - \frac{256}{27}$ です。

$y = 0, y = - \frac{256}{27}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例