微分積分例

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2

$a = 1$ 、 $b = 4$ 、および $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ を ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4$ であり、 $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ です。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3.5

$4$ から $4$ を引きます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3.6

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3.7

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.7.1

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3.7.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.4.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.4.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.5

$4$ と $4$ をたし算します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.6

$4$ を $- 4 x + 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.1

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.6.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.6.3

$4$ を $4 (- x) + 4 (2)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.7

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.8

$16 x (- x + 2)$ を ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.8.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

ステップ 1.3.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

ステップ 1.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ を ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3.5

$4$ から $4$ を引きます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3.6

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3.7

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.3.7.1

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3.7.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.5

$4$ と $4$ をたし算します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.6

$4$ を $- 4 x + 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.6.1

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.6.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.6.3

$4$ を $4 (- x) + 4 (2)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.7

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.8

$16 x (- x + 2)$ を ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.8.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

ステップ 1.4.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

ステップ 1.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

ステップ 1.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ を ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3.5

$4$ から $4$ を引きます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3.6

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3.7

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.3.7.1

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3.7.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.4.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.5

$4$ と $4$ をたし算します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.6

$4$ を $- 4 x + 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.6.1

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.6.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.6.3

$4$ を $4 (- x) + 4 (2)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.7

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.8

$16 x (- x + 2)$ を ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.8.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

ステップ 1.5.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

ステップ 1.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

ステップ 1.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.4

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.4.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.5

$\frac{d}{d x} [4 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.5.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

ステップ 3.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ と $0$ をたし算します。

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

ステップ 3.2.7.2

項を並べ替えます。

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

ステップ 3.3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

方程式の両辺から $8 x$ を引きます。

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

ステップ 3.5.1.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

ステップ 3.5.2

$2 y'$ を $2 y y' + 4 y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$2 y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

ステップ 3.5.2.2

$2 y'$ を $4 y'$ で因数分解します。

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

ステップ 3.5.2.3

$2 y'$ を $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ で因数分解します。

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

ステップ 3.5.3

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ の各項を $2 (y + 2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ の各項を $2 (y + 2)$ で割ります。

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

ステップ 3.5.3.2.2

$y + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

ステップ 3.5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1.1

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1.1.1

$2$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

ステップ 3.5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

ステップ 3.5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

ステップ 3.5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

ステップ 3.5.3.3.1.3

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1.3.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

ステップ 3.5.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

ステップ 3.5.3.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

ステップ 3.5.3.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

ステップ 3.5.3.3.2.2

$4$ を $- 4 x + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.2.2.1

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

ステップ 3.5.3.3.2.2.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

ステップ 3.5.3.3.2.2.3

$4$ を $4 (- x) + 4 (1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

ステップ 3.5.3.3.2.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

ステップ 3.5.3.3.2.4

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

ステップ 3.5.3.3.2.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

ステップ 3.5.3.3.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.2.6.1

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

ステップ 3.5.3.3.2.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

分子を0に等しくします。

$4 (x - 1) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.2.1

$4 (x - 1) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$4 (x - 1) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.1.2.1.2

$x - 1$ を $1$ で割ります。

$x - 1 = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x - 1 = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- (1) + 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

ステップ 5.2.1.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 2 + 2$

ステップ 5.2.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f (1) = 0$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- (1) + 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

ステップ 6.2.1.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 2 - 2$

ステップ 6.2.2

$- 2$ から $2$ を引きます。

$f (1) = - 4$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例